Dado o campo vetorial overrightarrow{\mathbf{G}}=(\mathrm{y}+1) \hat{\mathbf{a}}_{\mathrm{x}}+\mathrm{x} \hat{\mathbf{a}}_{\mathrm{y}}.
Expresse o campo \overrightarrow{\mathrm{G}} em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Nos deram o campo vetorial \overrightarrow{\mathbf{G}} = (\mathrm{y}+1)\,\hat{\mathbf{a}}_{x} + \mathrm{x}\,\hat{\mathbf{a}}_{y}.
  • O que é pedido: expressar \overrightarrow{\mathbf{G}} em coordenadas cilíndricas, isto é, escrever o mesmo campo na base \{\hat{\mathbf{a}}_{\rho},\hat{\mathbf{a}}_{\varphi},\hat{\mathbf{a}}_{z}\} e em função de \rho e \varphi.
Informações relevantes dadas:
  • Componentes Cartesianas: componente em x é \mathrm{y}+1 e componente em y é \mathrm{x}.
  • Não há componente explícita em z no enunciado (logo a componente axial será zero).

Passo 2

Relações entre coordenadas cartesianas e cilíndricas (essas são as fórmulas que vamos usar; entenda o que cada símbolo significa):
  • \rho é a distância radial ao eixo z no plano xy.
  • \varphi é o ângulo polar medido a partir do eixo x.
    As relações são:
\mathrm{x}=\rho\cos\varphi,\qquad \mathrm{y}=\rho\sin\varphi.
Relações entre os vetores unitários (essas dizem como trocar \hat{\mathbf{a}}_{x},\hat{\mathbf{a}}_{y} por \hat{\mathbf{a}}_{\rho},\hat{\mathbf{a}}_{\varphi}):
\hat{\mathbf{a}}_{\rho}=\cos\varphi\,\hat{\mathbf{a}}_{x}+\sin\varphi\,\hat{\mathbf{a}}_{y}, \qquad \hat{\mathbf{a}}_{\varphi}=-\sin\varphi\,\hat{\mathbf{a}}_{x}+\cos\varphi\,\hat{\mathbf{a}}_{y}.
Invertendo (útil para substituir \hat{\mathbf{a}}_{x},\hat{\mathbf{a}}_{y}):
\hat{\mathbf{a}}_{x}=\cos\varphi\,\hat{\mathbf{a}}_{\rho}-\sin\varphi\,\hat{\mathbf{a}}_{\varphi}, \qquad \hat{\mathbf{a}}_{y}=\sin\varphi\,\hat{\mathbf{a}}_{\rho}+\cos\varphi\,\hat{\mathbf{a}}_{\varphi}.

Passo 3

Substituir \mathrm{x} e \mathrm{y} por \rho e \varphi nas componentes cartesianas do campo:
\overrightarrow{\mathbf{G}}=(\mathrm{y}+1)\,\hat{\mathbf{a}}_{x}+\mathrm{x}\,\hat{\mathbf{a}}_{y} =(\rho\sin\varphi+1)\,\hat{\mathbf{a}}_{x}+(\rho\cos\varphi)\,\hat{\mathbf{a}}_{y}.

Passo 4

Substituir \hat{\mathbf{a}}_{x} e \hat{\mathbf{a}}_{y} em função de \hat{\mathbf{a}}_{\rho} e \hat{\mathbf{a}}_{\varphi}:
\overrightarrow{\mathbf{G}}=(\rho\sin\varphi+1)\bigl(\cos\varphi\,\hat{\mathbf{a}}_{\rho}-\sin\varphi\,\hat{\mathbf{a}}_{\varphi}\bigr) +(\rho\cos\varphi)\bigl(\sin\varphi\,\hat{\mathbf{a}}_{\rho}+\cos\varphi\,\hat{\mathbf{a}}_{\varphi}\bigr).

Passo 5

Agora expandimos e agrupamos termos em \hat{\mathbf{a}}_{\rho} e \hat{\mathbf{a}}_{\varphi}.
Componente em \hat{\mathbf{a}}_{\rho}:
(\rho\sin\varphi+1)\cos\varphi+(\rho\cos\varphi)\sin\varphi =\rho\sin\varphi\cos\varphi+\cos\varphi+\rho\cos\varphi\sin\varphi =2\rho\sin\varphi\cos\varphi+\cos\varphi.
Componente em \hat{\mathbf{a}}_{\varphi}:
-(\rho\sin\varphi+1)\sin\varphi+(\rho\cos\varphi)\cos\varphi =-\rho\sin^{2}\varphi-\sin\varphi+\rho\cos^{2}\varphi =\rho(\cos^{2}\varphi-\sin^{2}\varphi)-\sin\varphi.
Não há componente em \hat{\mathbf{a}}_{z}, então essa componente é zero.

Passo 6

Simplificar usando identidades trigonométricas úteis (isso deixa a resposta mais compacta e fácil de lembrar):
  • \sin 2\varphi = 2\sin\varphi\cos\varphi.
  • \cos 2\varphi = \cos^{2}\varphi-\sin^{2}\varphi.
Aplicando:
\text{componente em }\hat{\mathbf{a}}_{\rho}= \rho\sin 2\varphi+\cos\varphi, \qquad \text{componente em }\hat{\mathbf{a}}_{\varphi}= \rho\cos 2\varphi-\sin\varphi.
Portanto o campo em coordenadas cilíndricas fica:
\overrightarrow{\mathbf{G}}=\bigl(\rho\sin 2\varphi+\cos\varphi\bigr)\,\hat{\mathbf{a}}_{\rho} +\bigl(\rho\cos 2\varphi-\sin\varphi\bigr)\,\hat{\mathbf{a}}_{\varphi} +0\cdot\hat{\mathbf{a}}_{z}.

Resposta

\overrightarrow{\mathbf{G}}=\bigl(\rho\sin 2\varphi+\cos\varphi\bigr)\,\hat{\mathbf{a}}_{\rho}+\bigl(\rho\cos 2\varphi-\sin\varphi\bigr)\,\hat{\mathbf{a}}_{\varphi}

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