Questão 5.10
a) Defina conjunto de vetores linearmente independentes (1.i.) e conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.). Considere três vetores v, w, u \in \mathbb{R}^{n} não nulos e dois ortogonais (i.e., v \perp w, v \perp u e w \perp u ).
b) Mostre que v, w, u são linearmente independentes.
c) Os vetores 2 v+3 u, 5 w+v e 4 u+2 w são linearmente independentes? Justifique.
d) Os vetores u-4 v, w-2 u e 3 v- wsão linearmente independentes? Justifique.
e) Supondo que \mathrm{v}, \mathrm{w}, \mathrm{u} são unitários, calcule o ângulo entre 2 v+u e w+3 u.

Passo 1

O enunciado pede várias coisas, e nos dá as seguintes informações:
  • Temos três vetores v,w,u\in\mathbb{R}^n, todos não nulos.
  • Sabemos que eles são mutuamente ortogonais, isto é v\perp w, v\perp u e w\perp u.
    As perguntas são:
    a) Definir conjunto linearmente independente (l.i.) e conjunto linearmente dependente (l.d.).
    b) Mostrar que v,w,u são linearmente independentes.
    c) Verificar se os vetores 2v+3u,\;5w+v,\;4u+2w são linearmente independentes e justificar.
    d) Verificar se os vetores u-4v,\;w-2u,\;3v-w são linearmente independentes e justificar.
    e) Supondo que v,w,u são unitários, calcular o ângulo entre 2v+u e w+3u.

Passo 2

Definições — vou explicar com calma e exemplos curtos.
  • Conjunto linearmente independente: um conjunto de vetores \{x_1,\dots,x_k\} é dito linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial. Formalmente,
\text{os vetores }x_1,\dots,x_k\text{ são l.i. se }\alpha_1 x_1+\cdots+\alpha_k x_k=0\Rightarrow \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0.ã
Aqui \alpha_i são escalares reais. Intuição: nenhum dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros.
  • Conjunto linearmente dependente: se existir pelo menos uma combinação linear não trivial que dê zero, isto é, existem escalares não todos nulos tais que
\beta_1 x_1+\cdots+\beta_k x_k=0
com pelo menos um \beta_i\neq 0. Então o conjunto é l.d.
Exemplo rápido: \{(1,0),(0,1)\} é l.i.; \{(1,0),(2,0)\} é l.d. porque 2(1,0)-1(2,0)=0.

Passo 3

Prova de (b): mostrar que v,w,u são l.i. quando são não nulos e mutuamente ortogonais. Estratégia: suponha uma combinação linear que dá zero e use produtos internos (produto escalar) para extrair cada coeficiente.
Considere escalares a,b,c tais que
a v + b w + c u = 0.
Fazemos produto escalar dessa igualdade com v. Lembre que produto escalar é bilinear e que ortogonalidade significa v\cdot w=0, etc. Então
(a v + b w + c u)\cdot v = 0\cdot v = 0.
Pelo lado esquerdo, usando linearidade,
a(v\cdot v) + b(w\cdot v) + c(u\cdot v) = 0.
Pela ortogonalidade w\cdot v=0 e u\cdot v=0, então resta
a(v\cdot v)=0.
Como v é não nulo, v\cdot v=\|v\|^2>0. Logo a=0.
Repetindo o argumento fazendo produto escalar com w obtemos b=0. Fazendo com u obtemos c=0. Portanto a única solução é a=b=c=0. Conclusão: \{v,w,u\} é linearmente independente.
Observação prática: qualquer conjunto de vetores não nulos mutuamente ortogonais é automaticamente l.i.

Passo 4

Parte (c): verificar linear independência de \{2v+3u,\;5w+v,\;4u+2w\}\). Procedimento prático: suponha combinação linear nula e agrupe pelos vetores base \(v,w,u\) (que já sabemos ser l.i.). Sejam escalares \(p,q,r\) tais que \[p(2v+3u)+q(5w+v)+r(4u+2w)=0.
Expandindo e agrupando coeficientes em v,w,u:
(2p+q)\,v + (5q+2r)\,w + (3p+4r)\,u = 0.
Como \{v,w,u\} é l.i. (Passo 3), os coeficientes devem ser todos zero. Portanto obtemos o sistema linear
\begin{cases} 2p+q=0,\\[4pt] 5q+2r=0,\\[4pt] 3p+4r=0. \end{cases}
Vou resolver passo a passo: da primeira equação q=-2p\]. Substituo na segunda: \[5(-2p)+2r=0 \Rightarrow -10p+2r=0 \Rightarrow r=5p.\] Substituo \(p e r na terceira:
3p+4(5p)=3p+20p=23p=0 \Rightarrow p=0.
Então q=-2p=0 e r=5p=0. Só existe a solução trivial p=q=r=0. Conclusão: os três vetores dados são linearmente independentes.]

Passo 5

Parte (d): verificar linear independência de \{u-4v,\;w-2u,\;3v-w\}\). Mesma técnica: suponha combinação linear nula e agrupe em \(v,w,u\). Tomemos escalares \(s,t,\ell\) tais que \[s(u-4v) + t(w-2u) + \ell(3v-w) = 0.
Expandindo:
(-4s + 3\ell)\,v + (t - \ell)\,w + (s - 2t)\,u = 0.
Pela linear independência de \{v,w,u\}, os coeficientes devem ser zero:
\begin{cases} -4s + 3\ell = 0,\\[4pt] t - \ell = 0,\\[4pt] s - 2t = 0. \end{cases}
Resolvo: da segunda equação t=\ell\]. Da terceira \(s=2t=2\ell. Substituo na primeira:
-4(2\ell)+3\ell = -8\ell+3\ell = -5\ell = 0 \Rightarrow \ell=0.
Então t=\ell=0 e s=2\ell=0. Apenas a solução trivial. Conclusão: os vetores u-4v,\;w-2u,\;3v-w são linearmente independentes.]

Passo 6

Parte (e): calcular o ângulo entre 2v+u e w+3u quando v,w,u são unitários e mutuamente ortogonais. Técnica: usar fórmula do cosseno entre vetores:
\cos\theta = \frac{(2v+u)\cdot(w+3u)}{\|2v+u\|\;\|w+3u\|}.
Calculo o produto escalar no numerador. Expandindo e usando ortogonalidade ( v\cdot w=v\cdot u=w\cdot u=0) e normalização ( \|v\|=\|w\|=\|u\|=1):
(2v+u)\cdot(w+3u)=2(v\cdot w)+6(v\cdot u)+1(w\cdot u)+3(u\cdot u)=0+0+0+3=3.
Agora os comprimentos (normas). Primeiro
\|2v+u\|^2=(2v+u)\cdot(2v+u)=4(v\cdot v)+4(v\cdot u)+(u\cdot u)=4\cdot1+0+1=5,
portanto \|2v+u\|=\sqrt{5}. Em seguida
\|w+3u\|^2=(w+3u)\cdot(w+3u)=1+0+9\cdot1=10,
logo \|w+3u\|=\sqrt{10}. Assim
\cos\theta=\frac{3}{\sqrt{5}\,\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{50}}=\frac{3}{5\sqrt{2}}.
Portanto o ângulo é \theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{3}{5\sqrt{2}}\bigr).

Resposta

(a) Conjunto l.i.: \{x_1,\dots,x_k\} é linearmente independente se \alpha_1 x_1+\cdots+\alpha_k x_k=0\Rightarrow \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0. Conjunto l.d.: existe combinação não trivial \beta_1 x_1+\cdots+\beta_k x_k=0 com alguns \beta_i\neq0.
(b) Sim, v,w,u são linearmente independentes.
(c) Sim, 2v+3u,\;5w+v,\;4u+2w são linearmente independentes.
(d) Sim, u-4v,\;w-2u,\;3v-w são linearmente independentes.
(e) \displaystyle \cos\theta=\frac{3}{5\sqrt{2}}, ou \displaystyle \theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{3}{5\sqrt{2}}\bigr).

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