Questão 6.2
a) Defina base e dimensão de espaço vetorial
Considere um subespaço vetorial não trivial da questão anterior, denotado por W .
b) Determine uma base \alpha e a dimensão vetorial de W .
c) Determine se os vetores v=(3,1,0,-2), w=(0,2,-1,4) pertencem a W .
d) Determine se o conjunto \beta=\{\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}\} é uma base ou pode ser parte de uma base do subespaço W. Justifique.
e) Calcule o ângulo entre v e w, em graus com precisão de uma casa decimal.
Passo 1
O enunciado pede as seguintes coisas:
(a) Definir o que é base e o que é dimensão de um espaço vetorial.
(b) Para um subespaço vetorial não trivial W (referido como o da questão anterior), determinar uma base \alpha e a dimensão de W.
(c) Verificar se os vetores v=(3,1,0,-2) e w=(0,2,-1,4) pertencem a W.
(d) Verificar se o conjunto \beta=\{v,w\} é uma base de W ou pode ser parte de uma base de W, justificando.
(e) Calcular o ângulo entre v e w, em graus com precisão de uma casa decimal.
Informações dadas explicitamente:
Os vetores v e w estão explícitos: v=(3,1,0,-2) e w=(0,2,-1,4).
Foi mencionado um subespaço W que vem da questão anterior, mas o enunciado que você me enviou não contém a definição de W (nenhuma base, nenhum gerador, nem equações que o definam).
Observação importante: sem a definição de W (por exemplo: um conjunto gerador, uma base, ou equações lineares que o definam), não é possível responder os itens (b) e (c) de forma definitiva, porque eles dependem exatamente de qual é W. Vou:
(i) responder o item (a) com definição e explicação didática;
(ii) explicar passo a passo como proceder para (b), (c) e (d) caso você tenha a descrição de W (mostrando métodos e um exemplo ilustrativo);
(iii) fazer todos os cálculos possíveis com os dados que temos: verificar independência linear de v,w e calcular o ângulo pedido em (e).
Passo 2
(a) Definições e explicação didática.
Definição de base:
\text{Uma \emph{base} de um espaço vetorial }V\text{ é um conjunto }B=\{b_1,\dots,b_k\}\subset V
tal que:
os vetores de B são linearmente independentes (ou seja, a única solução da combinação linear \displaystyle c_1 b_1+\cdots+c_k b_k=0 é c_1=\cdots=c_k=0); e
B gera V (ou seja, todo vetor v\in V pode ser escrito como combinação linear v=\displaystyle \sum_{i=1}^k a_i b_i para alguns escalares a_i).
Explicação com linguagem simples:
“Gerar” significa que com combinações lineares dos vetores da base eu consigo construir qualquer vetor do espaço.
“Linearmente independentes” significa que nenhum vetor da base pode ser obtido como combinação linear dos outros; eles trazem informação nova.
Definição de dimensão:
\text{A \emph{dimensão} de }V,\\ \dim V,
é o número de vetores em qualquer base de V. Um resultado fundamental é que todas as bases de um mesmo espaço vetorial têm o mesmo número de vetores, portanto \dim V é bem definida.
Exemplo rápido e intuitivo:
No plano \mathbb{R}^2, um conjunto \{(1,0),(0,1)\} é uma base; \dim\mathbb{R}^2=2.
No espaço \mathbb{R}^3, \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} é uma base; \dim\mathbb{R}^3=3.
Como verificar em prova (roteiro prático):
Para mostrar que um conjunto gera um subespaço: escreva um vetor genérico do subespaço e mostre que existe solução para os coeficientes (redução de sistemas lineares).
Para mostrar independência: resolva \sum c_i b_i=0; faça eliminação de Gauss e veja se as únicas soluções são todos os c_i=0.
Passo 3
Impossibilidade de resolver (b) e (c) sem definição de W e quais dados seriam necessários.
Motivo:
Para determinar uma base \alpha e \dim W (item b) preciso de alguma descrição de W: por exemplo
um conjunto de vetores que gera W (então reduzo esse gerador e encontro uma base mínima),
ou equações lineares que definem W (por exemplo, W=\{x\in\mathbb{R}^4\mid Ax=0\}, aí resolvo Ax=0 e encontro uma base para o espaço solução),
ou já uma base dada.
Sem essa informação não há como “adivinhar” \alpha nem \dim W.
Para dizer se v e w pertencem a W (item c) também preciso da descrição de W: devo tentar escrever v (ou w) como combinação dos geradores de W, ou verificar se satisfazem as equações que definem W.
O que você pode me enviar para eu resolver (b) e (c):
o conjunto gerador de W (por exemplo, uma lista de vetores que dizem que W=\operatorname{span}\{\dots\}), ou
as equações que definem W (por exemplo, igualdades lineares do tipo a_1 x_1+\cdots+a_4 x_4=0 que todo vetor em W satisfaz).
Passo 4
Método prático para executar (b) — encontrar uma base e a dimensão de W quando W for dado por um gerador (procedimento passo a passo, para você aplicar na prova).
Suponha que W=\operatorname{span}\{u_1,\dots,u_m\} com u_i\in\mathbb{R}^n. Procedimento:
Coloque os vetores u_1,\dots,u_m como colunas de uma matriz U (ou como linhas, escolhendo o método, mas mantenha consistência).
Faça eliminação de Gauss (redução por linhas) para encontrar a forma escalonada reduzida por linhas (RREF) de U.
As colunas de U que correspondem às colunas pivot (ou seja, colunas que têm pivôs na RREF) formam um subconjunto dos u_i que é uma base de W.
O número de pivôs é \dim W.
Por que isso funciona (resumo didático):
A eliminação identifica vetores que são combinações dos outros (colunas não-pivô) e mantém os vetores essenciais (colunas-pivô). Os pivôs correspondem a vetores linearmente independentes que geram o mesmo espaço.
Exemplo ilustrativo (apenas para treino, não relativo ao seu W):
Suponha W=\operatorname{span}\{(1,0,1,2),(0,1,1,-1),(2,1,3,1)\}.
Montamos a matriz com essas colunas e reduzimos; o procedimento mostraria quais colunas são independentes e a dimensão (não vou repetir todo o cálculo aqui porque é um exemplo; o objetivo é que você saiba o procedimento para aplicar no W real).
Passo 5
Método prático para (c) — testar se um vetor x pertence a W.
Se W é dado por geradores W=\operatorname{span}\{u_1,\dots,u_m\}:
monte o sistema linear
a_1 u_1 + \cdots + a_m u_m = x,
e resolva para os escalares a_i. Em termos de matrizes, se U=[u_1\\ \cdots\\ u_m] (colunas), resolva U a = x. Se o sistema for consistente, então x\in W; se for inconsistente, então x\notin W.
Se W é dado por equações Ax=0:
basta verificar se A x = 0. Se sim, x\in W; se não, x\notin W.
Exemplo ilustrativo (treino):
Se W=\operatorname{span}\{(1,0,1,2),(0,1,1,-1)\} e quero saber se v=(3,1,0,-2) pertence a W, montaria a equação a(1,0,1,2)+b(0,1,1,-1)=(3,1,0,-2) e resolveria para a,b. Se houver solução, pertence; senão, não.
Passo 6
Item (d): analisar se [\beta={v,w}) é base ou pode ser parte de uma base de W. Primeiro passo: testar independência linear de v e w (isso podemos fazer porque v e w são dados).
Verificação de independência linear de v e w:
Queremos ver se existem escalares c_1,c_2 tais que
Da primeira equação, 3c_1=0\Rightarrow c_1=0\].
Com \(c_1=0, a terceira equação dá -1\cdot c_2=0\Rightarrow c_2=0.
Portanto a única solução é c_1=c_2=0. Conclusão: v e w são linearmente independentes.
Interpretação e consequências para (d):
Como \{v,w\} é um conjunto linearmente independente, ele gera um subespaço de dimensão 2, ou seja, \operatorname{span}\{v,w\} tem dimensão 2.
Para que \beta seja uma base de W é necessário e suficiente que:
Se \dim W>2 e v,w\in W, então \beta não será base porque não gera todo W, mas por serem LI, \beta pode ser estendida a uma base de W (teorema: todo conjunto LI em um espaço vetorial pode ser estendido a uma base).
Se algum de v ou w não pertence a W, então \beta não pode ser base de W (um conjunto base deve estar contido em W).
Em resumo: sem saber se v,w\in W e sem saber \dim W, não posso afirmar definitivamente se \beta é base de W. O que posso afirmar com certeza é que \beta é linearmente independente, portanto, caso ambos pertençam a W, \beta é
uma base de W exatamente quando \dim W=2;
caso \dim W>2, \beta pode ser estendida a uma base de W.
Passo 7
(e) Cálculo do ângulo entre v e w (podemos calcular porque v e w estão dados).
Fórmula do ângulo entre vetores:
Sejam x,y\in\mathbb{R}^n. O cosseno do ângulo \theta entre eles é dado por
\cos\theta=\dfrac{x\cdot y}{\|x\|\\ \|y\|},
onde x\cdot y é o produto escalar e \|x\| é a norma euclidiana de x:
Valor numérico (calculei com precisão suficiente para arredondar a uma casa decimal o ângulo):
\cos\theta \approx -0,349801\ldots
Tomando arccoseno e convertendo para graus:
\theta \approx 110,5^\circ
(ângulo em graus com uma casa decimal).
Resposta
(a) Uma base de um espaço vetorial V é um conjunto B=\{b_1,\dots,b_k\}\subset V que é linearmente independente e gera V. A dimensão \dim V é o número de vetores em qualquer base de V.
(b) Não é possível determinar \alpha nem \dim W porque a definição de W (geradores ou equações) não foi fornecida.
(c) Não é possível afirmar se v e w pertencem a W sem a descrição de W.
(d) O conjunto \beta=\{v,w\} é linearmente independente (verificação mostrou que a única combinação c_1 v+c_2 w=0 tem c_1=c_2=0). Consequências: se v,w\in W e \dim W=2 então \beta é uma base de W; se v,w\in W e \dim W>2 então \beta não gera W mas pode ser estendida a uma base de W; se algum dos vetores não pertence a W então \beta não pode ser base de W.
(e) \theta\approx 110,5^\circ