Questão 6.2
a) Defina base e dimensão de espaço vetorial
Considere um subespaço vetorial não trivial da questão anterior, denotado por W .
b) Determine uma base \alpha e a dimensão vetorial de W .
c) Determine se os vetores v=(3,1,0,-2), w=(0,2,-1,4) pertencem a W .
d) Determine se o conjunto \beta=\{\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}\} é uma base ou pode ser parte de uma base do subespaço W. Justifique.
e) Calcule o ângulo entre v e w, em graus com precisão de uma casa decimal.

Passo 1

O enunciado pede as seguintes coisas:
  1. (a) Definir o que é base e o que é dimensão de um espaço vetorial.
  2. (b) Para um subespaço vetorial não trivial W (referido como o da questão anterior), determinar uma base \alpha e a dimensão de W.
  3. (c) Verificar se os vetores v=(3,1,0,-2) e w=(0,2,-1,4) pertencem a W.
  4. (d) Verificar se o conjunto \beta=\{v,w\} é uma base de W ou pode ser parte de uma base de W, justificando.
  5. (e) Calcular o ângulo entre v e w, em graus com precisão de uma casa decimal.
Informações dadas explicitamente:
  • Os vetores v e w estão explícitos: v=(3,1,0,-2) e w=(0,2,-1,4).
  • Foi mencionado um subespaço W que vem da questão anterior, mas o enunciado que você me enviou não contém a definição de W (nenhuma base, nenhum gerador, nem equações que o definam).
Observação importante: sem a definição de W (por exemplo: um conjunto gerador, uma base, ou equações lineares que o definam), não é possível responder os itens (b) e (c) de forma definitiva, porque eles dependem exatamente de qual é W. Vou:
  • (i) responder o item (a) com definição e explicação didática;
  • (ii) explicar passo a passo como proceder para (b), (c) e (d) caso você tenha a descrição de W (mostrando métodos e um exemplo ilustrativo);
  • (iii) fazer todos os cálculos possíveis com os dados que temos: verificar independência linear de v,w e calcular o ângulo pedido em (e).

Passo 2

(a) Definições e explicação didática.
Definição de base:
\text{Uma \emph{base} de um espaço vetorial }V\text{ é um conjunto }B=\{b_1,\dots,b_k\}\subset Vçé
tal que:
  1. os vetores de B são linearmente independentes (ou seja, a única solução da combinação linear \displaystyle c_1 b_1+\cdots+c_k b_k=0 é c_1=\cdots=c_k=0); e
  2. B gera V (ou seja, todo vetor v\in V pode ser escrito como combinação linear v=\displaystyle \sum_{i=1}^k a_i b_i para alguns escalares a_i).
Explicação com linguagem simples:
  • “Gerar” significa que com combinações lineares dos vetores da base eu consigo construir qualquer vetor do espaço.
  • “Linearmente independentes” significa que nenhum vetor da base pode ser obtido como combinação linear dos outros; eles trazem informação nova.
Definição de dimensão:
\text{A \emph{dimensão} de }V,\\ \dim V,ã
é o número de vetores em qualquer base de V. Um resultado fundamental é que todas as bases de um mesmo espaço vetorial têm o mesmo número de vetores, portanto \dim V é bem definida.
Exemplo rápido e intuitivo:
  • No plano \mathbb{R}^2, um conjunto \{(1,0),(0,1)\} é uma base; \dim\mathbb{R}^2=2.
  • No espaço \mathbb{R}^3, \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} é uma base; \dim\mathbb{R}^3=3.
Como verificar em prova (roteiro prático):
  • Para mostrar que um conjunto gera um subespaço: escreva um vetor genérico do subespaço e mostre que existe solução para os coeficientes (redução de sistemas lineares).
  • Para mostrar independência: resolva \sum c_i b_i=0; faça eliminação de Gauss e veja se as únicas soluções são todos os c_i=0.

Passo 3

Impossibilidade de resolver (b) e (c) sem definição de W e quais dados seriam necessários.
Motivo:
  • Para determinar uma base \alpha e \dim W (item b) preciso de alguma descrição de W: por exemplo
    • um conjunto de vetores que gera W (então reduzo esse gerador e encontro uma base mínima),
    • ou equações lineares que definem W (por exemplo, W=\{x\in\mathbb{R}^4\mid Ax=0\}, aí resolvo Ax=0 e encontro uma base para o espaço solução),
    • ou já uma base dada.
      Sem essa informação não há como “adivinhar” \alpha nem \dim W.
  • Para dizer se v e w pertencem a W (item c) também preciso da descrição de W: devo tentar escrever v (ou w) como combinação dos geradores de W, ou verificar se satisfazem as equações que definem W.
O que você pode me enviar para eu resolver (b) e (c):
  • o conjunto gerador de W (por exemplo, uma lista de vetores que dizem que W=\operatorname{span}\{\dots\}), ou
  • as equações que definem W (por exemplo, igualdades lineares do tipo a_1 x_1+\cdots+a_4 x_4=0 que todo vetor em W satisfaz).

Passo 4

Método prático para executar (b) — encontrar uma base e a dimensão de W quando W for dado por um gerador (procedimento passo a passo, para você aplicar na prova).
Suponha que W=\operatorname{span}\{u_1,\dots,u_m\} com u_i\in\mathbb{R}^n. Procedimento:
  1. Coloque os vetores u_1,\dots,u_m como colunas de uma matriz U (ou como linhas, escolhendo o método, mas mantenha consistência).
  2. Faça eliminação de Gauss (redução por linhas) para encontrar a forma escalonada reduzida por linhas (RREF) de U.
  3. As colunas de U que correspondem às colunas pivot (ou seja, colunas que têm pivôs na RREF) formam um subconjunto dos u_i que é uma base de W.
  4. O número de pivôs é \dim W.
Por que isso funciona (resumo didático):
  • A eliminação identifica vetores que são combinações dos outros (colunas não-pivô) e mantém os vetores essenciais (colunas-pivô). Os pivôs correspondem a vetores linearmente independentes que geram o mesmo espaço.
Exemplo ilustrativo (apenas para treino, não relativo ao seu W):
Suponha W=\operatorname{span}\{(1,0,1,2),(0,1,1,-1),(2,1,3,1)\}.
Montamos a matriz com essas colunas e reduzimos; o procedimento mostraria quais colunas são independentes e a dimensão (não vou repetir todo o cálculo aqui porque é um exemplo; o objetivo é que você saiba o procedimento para aplicar no W real).

Passo 5

Método prático para (c) — testar se um vetor x pertence a W.
Se W é dado por geradores W=\operatorname{span}\{u_1,\dots,u_m\}:
  • monte o sistema linear
a_1 u_1 + \cdots + a_m u_m = x,
e resolva para os escalares a_i. Em termos de matrizes, se U=[u_1\\ \cdots\\ u_m] (colunas), resolva U a = x. Se o sistema for consistente, então x\in W; se for inconsistente, então x\notin W.
Se W é dado por equações Ax=0:
  • basta verificar se A x = 0. Se sim, x\in W; se não, x\notin W.
Exemplo ilustrativo (treino):
  • Se W=\operatorname{span}\{(1,0,1,2),(0,1,1,-1)\} e quero saber se v=(3,1,0,-2) pertence a W, montaria a equação a(1,0,1,2)+b(0,1,1,-1)=(3,1,0,-2) e resolveria para a,b. Se houver solução, pertence; senão, não.

Passo 6

Item (d): analisar se [\beta={v,w}) é base ou pode ser parte de uma base de W. Primeiro passo: testar independência linear de v e w (isso podemos fazer porque v e w são dados).
Verificação de independência linear de v e w:
Queremos ver se existem escalares c_1,c_2 tais que
c_1 v + c_2 w = 0.
Escrevendo coordenada a coordenada:
\begin{cases} 3 c_1 + 0 c_2 = 0,\\\\ 1 c_1 + 2 c_2 = 0,\\\\ 0 c_1 + (-1) c_2 = 0,\\\\ -2 c_1 + 4 c_2 = 0. \end{cases}
Da primeira equação, 3c_1=0\Rightarrow c_1=0\]. Com \(c_1=0, a terceira equação dá -1\cdot c_2=0\Rightarrow c_2=0.
Portanto a única solução é c_1=c_2=0. Conclusão: v e w são linearmente independentes.
Interpretação e consequências para (d):
  • Como \{v,w\} é um conjunto linearmente independente, ele gera um subespaço de dimensão 2, ou seja, \operatorname{span}\{v,w\} tem dimensão 2.
  • Para que \beta seja uma base de W é necessário e suficiente que:
    1. v,w\in W; e
    2. \dim W=2 (ou equivalentemente \operatorname{span}\{v,w\}=W).
  • Se \dim W>2 e v,w\in W, então \beta não será base porque não gera todo W, mas por serem LI, \beta pode ser estendida a uma base de W (teorema: todo conjunto LI em um espaço vetorial pode ser estendido a uma base).
  • Se algum de v ou w não pertence a W, então \beta não pode ser base de W (um conjunto base deve estar contido em W).
Em resumo: sem saber se v,w\in W e sem saber \dim W, não posso afirmar definitivamente se \beta é base de W. O que posso afirmar com certeza é que \beta é linearmente independente, portanto, caso ambos pertençam a W, \beta é
  • uma base de W exatamente quando \dim W=2;
  • caso \dim W>2, \beta pode ser estendida a uma base de W.

Passo 7

(e) Cálculo do ângulo entre v e w (podemos calcular porque v e w estão dados).
Fórmula do ângulo entre vetores:
Sejam x,y\in\mathbb{R}^n. O cosseno do ângulo \theta entre eles é dado por
\cos\theta=\dfrac{x\cdot y}{\|x\|\\ \|y\|},
onde x\cdot y é o produto escalar e \|x\| é a norma euclidiana de x:
x\cdot y=\sum_{i=1}^n x_i y_i,\qquad \|x\|=\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}.
Calculemos passo a passo para v=(3,1,0,-2) e w=(0,2,-1,4).
Produto escalar:
v\cdot w = 3\cdot 0 + 1\cdot 2 + 0\cdot(-1) + (-2)\cdot 4 = 0+2+0-8 = -6.
Normas:
\|v\| = \sqrt{3^2 + 1^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{9+1+0+4} = \sqrt{14}.
\|w\| = \sqrt{0^2 + 2^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{0+4+1+16} = \sqrt{21}.
Cosseno do ângulo:
\cos\theta = \dfrac{-6}{\sqrt{14}\,\sqrt{21}} = \dfrac{-6}{\sqrt{294}}.
Valor numérico (calculei com precisão suficiente para arredondar a uma casa decimal o ângulo):
\cos\theta \approx -0,349801\ldots
Tomando arccoseno e convertendo para graus:
\theta \approx 110,5^\circ
(ângulo em graus com uma casa decimal).

Resposta

(a) Uma base de um espaço vetorial V é um conjunto B=\{b_1,\dots,b_k\}\subset V que é linearmente independente e gera V. A dimensão \dim V é o número de vetores em qualquer base de V.
(b) Não é possível determinar \alpha nem \dim W porque a definição de W (geradores ou equações) não foi fornecida.
(c) Não é possível afirmar se v e w pertencem a W sem a descrição de W.
(d) O conjunto \beta=\{v,w\} é linearmente independente (verificação mostrou que a única combinação c_1 v+c_2 w=0 tem c_1=c_2=0). Consequências: se v,w\in W e \dim W=2 então \beta é uma base de W; se v,w\in W e \dim W>2 então \beta não gera W mas pode ser estendida a uma base de W; se algum dos vetores não pertence a W então \beta não pode ser base de W.
(e) \theta\approx 110,5^\circ

Exercícios relacionados