Questão 10. Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergenge.(SÉRIES ABSOLUTAMENTE CONVERGENTES)
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{\ln n}{n^{3}};

Passo 1

O enunciado dá a série alternante \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{\ln n}{n^{3}}.
O objetivo é verificar se ela é absolutamente convergente, ou seja, se \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\bigl|\!(-1)^{n-1}\frac{\ln n}{n^{3}}\bigr|
converge. Para isso, vamos estudar \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^{3}}
usando o teste integral (ou comparação assintótica).

Passo 2

Escrevendo a série dos valores absolutos, temos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^{3}}.
Como \ln n cresce mais lentamente que qualquer potência de n, esperamos que seja comparável a uma série tipo \sum1/n^{p} com p>1. Para confirmar rigorosamente, aplicamos o teste integral.

Passo 3

Considere a função f(x)=\ln x\,x^{-3} para x\ge2. Vamos analisar
\int_{2}^{\infty}\frac{\ln x}{x^{3}}\,dx.
Fazendo integração por partes, seja \displaystyle u=\ln x e \displaystyle dv=x^{-3}dx.
Então
du=\frac{1}{x}\,dx, \quad v=\int x^{-3}dx=-\frac{1}{2x^{2}}.
Logo,
\int\frac{\ln x}{x^{3}}\,dx =uv-\int v\,du =-\frac{\ln x}{2x^{2}} +\int\frac{1}{2x^{3}}\,dx =-\frac{\ln x}{2x^{2}}-\frac{1}{4x^{2}}+C.

Passo 4

Avaliaremos o improprio
\lim_{b\to\infty}\Bigl[-\frac{\ln x}{2x^{2}}-\frac{1}{4x^{2}}\Bigr]_{x=2}^{x=b}.
Para x=b\to\infty, tanto \ln b/(2b^{2}) quanto 1/(4b^{2}) vão a zero. Portanto o integral converge. Pelo teste integral, \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\ln n}{n^{3}}
converge. Como excluir os termos iniciais não altera a convergência, concluímos que \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^{3}}
converge também.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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