Questão 10. Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergenge.(SÉRIES ABSOLUTAMENTE CONVERGENTES) \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{\ln n}{n^{3}};
Passo 1
O enunciado dá a série alternante \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{\ln n}{n^{3}}.
O objetivo é verificar se ela é absolutamente convergente, ou seja, se \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\bigl|\!(-1)^{n-1}\frac{\ln n}{n^{3}}\bigr|
converge. Para isso, vamos estudar \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^{3}}
usando o teste integral (ou comparação assintótica).
Passo 2
Escrevendo a série dos valores absolutos, temos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^{3}}.
Como \ln n cresce mais lentamente que qualquer potência de n, esperamos que seja comparável a uma série tipo \sum1/n^{p} com p>1. Para confirmar rigorosamente, aplicamos o teste integral.
Passo 3
Considere a função f(x)=\ln x\,x^{-3} para x\ge2. Vamos analisar
\int_{2}^{\infty}\frac{\ln x}{x^{3}}\,dx.
Fazendo integração por partes, seja \displaystyle u=\ln x e \displaystyle dv=x^{-3}dx.
Então
Para x=b\to\infty, tanto \ln b/(2b^{2}) quanto 1/(4b^{2}) vão a zero. Portanto o integral converge. Pelo teste integral, \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\ln n}{n^{3}}
converge. Como excluir os termos iniciais não altera a convergência, concluímos que \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^{3}}
converge também.