Questão 10. Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergenge.(SÉRIES ABSOLUTAMENTE CONVERGENTES)
\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{3^{n}}{2^{n}+5^{n}};

Passo 1

O enunciado pede para a série
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n-1}\,\frac{3^{n}}{2^{n}+5^{n}}
ser classificada como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo é séries numéricas e vamos usar o teste da razão aplicado à série dos valores absolutos para verificar a convergência absoluta.

Passo 2

Formamos a série dos valores absolutos:
\sum_{n=0}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n-1}\,3^{n}}{2^{n}+5^{n}}\right| =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3^{n}}{2^{n}+5^{n}}.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão a a_n=\frac{3^{n}}{2^{n}+5^{n}}. Calculamos
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{\displaystyle\frac{3^{\,n+1}}{2^{\,n+1}+5^{\,n+1}}} {\displaystyle\frac{3^{n}}{2^{n}+5^{n}}} = \lim_{n\to\infty} 3\;\frac{2^{n}+5^{n}}{2\cdot2^{n}+5\cdot5^{n}}.
Para n grande, 5^{n} domina, então
L = \frac{3\cdot5^{n}}{5\cdot5^{n}} = \frac{3}{5} < 1.
Como L<1, a série \sum a_n converge.

Passo 4

A convergência da série dos valores absolutos implica que a série original converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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