Questão 10. Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergenge.
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{\ln n}{n^{3}};

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{\ln n}{n^{3}}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar dois testes: primeiro o critério de Leibniz (séries alternadas) para ver se converge; depois verificar a convergência absoluta comparando \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^{3}}
com uma série p-série.

Passo 2

Para aplicar o critério de Leibniz, considere
b_{n} = \frac{\ln n}{n^{3}}\,.
  1. Mostramos que \lim_{n\to\infty}b_{n}=0. De fato,
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n^{3}}=0
porque o denominador cresce muito mais rápido que \ln n.
2. Verificamos que b_{n} é eventualmente decrescente. Considere a função
f(x)=\frac{\ln x}{x^{3}}\quad(x>1).
Seu derivada é
f'(x)=\frac{1-3\ln x}{x^{4}}\,,
que é negativa para x>e^{1/3}\approx1{,}4. Logo para n\ge2, b_{n} é decrescente.
Pelo critério de Leibniz, a série alternada converge.

Passo 3

Para a convergência absoluta analisamos
\sum_{n=1}^{\infty}\biggl|\;(-1)^{n-1}\frac{\ln n}{n^{3}}\biggr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^{3}}.
Para n\ge3 temos \ln n<n, então
\frac{\ln n}{n^{3}}<\frac{n}{n^{3}}=\frac{1}{n^{2}}.
Como a série \sum 1/n^{2} é convergente p-série com p=2>1, pelo teste de comparação a série de termos positivos \sum(\ln n)/n^{3} também converge. Portanto a série original converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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