Questão 10. Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergenge. \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{\ln n}{n^{3}};
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{\ln n}{n^{3}}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar dois testes: primeiro o critério de Leibniz (séries alternadas) para ver se converge; depois verificar a convergência absoluta comparando \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^{3}}
com uma série p-série.
Passo 2
Para aplicar o critério de Leibniz, considere
b_{n} = \frac{\ln n}{n^{3}}\,.
Mostramos que \lim_{n\to\infty}b_{n}=0. De fato,
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n^{3}}=0
porque o denominador cresce muito mais rápido que \ln n.
2. Verificamos que b_{n} é eventualmente decrescente. Considere a função
f(x)=\frac{\ln x}{x^{3}}\quad(x>1).
Seu derivada é
f'(x)=\frac{1-3\ln x}{x^{4}}\,,
que é negativa para x>e^{1/3}\approx1{,}4. Logo para n\ge2, b_{n} é decrescente.
Pelo critério de Leibniz, a série alternada converge.
Como a série \sum 1/n^{2} é convergente p-série com p=2>1, pelo teste de comparação a série de termos positivos \sum(\ln n)/n^{3} também converge. Portanto a série original converge absolutamente.