Questão 10. Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergenge.
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{\ln n}{n};

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{\ln n}{n}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar o critério de Leibniz para séries alternadas e depois testar a convergência da série de termos positivos \sum (\ln n)/n.

Passo 2

Defina
a_n = \frac{\ln n}{n}.
Primeiro verificamos o limite
\lim_{n\to\infty}a_n =\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}=0,
pois \ln n cresce mais lento que n.

Passo 3

Agora mostramos que a_n é eventualmente decrescente. Considere a função
f(x)=\frac{\ln x}{x},\quad x>1.
Sua derivada é
f'(x) =\frac{1-\ln x}{x^2},
que é negativa sempre que \ln x>1, isto é, para x>e. Logo, para n\ge3 a sequência a_n é decrescente.

Passo 4

Pelo critério de Leibniz (série alternada com termos positivos decrescentes e tendendo a zero), concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n
converge.

Passo 5

Para verificar a convergência absoluta, analisamos
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl|(-1)^{n-1}a_n\bigr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n}.
Use o teste da integral:
\int_{1}^{\infty}\frac{\ln x}{x}\,dx =\left[\frac{(\ln x)^2}{2}\right]_{1}^{\infty} =+\infty.
Como a integral diverge, a série \sum(\ln n)/n também diverge, e portanto a série original não é absolutamente convergente.

Passo 6

Juntando os resultados, a série converge pelo critério de Leibniz, mas não converge absolutamente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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