Questão 10.

Encontre a solução da equação diferencial
2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}+2 y=f(t)
com y(0)=0 e y^{\prime}(0)=0, em que
f(t)= \begin{cases}1, & \text { se } \quad 5 \leq t<20 \\\\ 0, & \text { se } \quad 0 \leq t<5 \text { e } t \geq 20\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede a solução de
2y''+y'+2y=f(t),
com condições iniciais y(0)=0, y'(0)=0, onde
f(t)= \begin{cases} 1, &5\le t<20,\\\\ 0, &t<5 \text{ ou }t\ge20. \end{cases}
O conteúdo aqui é EDO linear de coeficientes constantes com forçamento em degraus. Vamos usar transformada de Laplace para resolver de modo sistemático.

Passo 2

Tomando Laplace em ambos os lados, usando Y(s)=\mathcal L\{y(t)\} e \mathcal L\{f(t)\}=\frac{e^{-5s}-e^{-20s}}{s}, obtemos
2\bigl[s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)\bigr]+ \bigl[sY(s)-y(0)\bigr]+2Y(s) =\frac{e^{-5s}-e^{-20s}}{s}.
Como y(0)=y'(0)=0, isso vira
\bigl(2s^2+s+2\bigr)\,Y(s) =\frac{e^{-5s}-e^{-20s}}{s}.

Passo 3

Isolando Y(s), definimos a função de transferência
H(s)=\frac{1}{2s^2+s+2},
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Y(s)=H(s)\,\frac{e^{-5s}-e^{-20s}}{s}.
Em domínio do tempo, isso equivale à convolução
y(t) =\bigl(h*\!1_{[5,20)}\bigr)(t) =h(t-5)\,u(t-5)\;-\;h(t-20)\,u(t-20),
onde h(t) é a resposta ao degrau unitário de H(s) e u(t) é a função degrau de Heaviside.

Passo 4

Para achar h(t), note que
H(s)\,\frac{1}{s} =\frac{1}{s(2s^2+s+2)} =\frac{1}{2}\;\frac{1}{s^2+\tfrac{1}{2}s+1}\;\frac{1}{s}.
Mas é mais fácil obter a resposta ao impulso
g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{H(s)\} =\tfrac{1}{2}\,\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s^2+\tfrac{1}{2}s+1}\Bigr\}.
Como s^2+\tfrac{1}{2}s+1=(s+\tfrac{1}{4})^2+(\tfrac{\sqrt{15}}{4})^2, tem-se
g(t) =\tfrac{1}{2}\,e^{-t/4}\sin t.
Então
h(t)=\int_{0}^{t}g(\tau)\,d\tau =\int_{0}^{t}\tfrac{1}{2}e^{-\tau/4}\sin\tau\,d\tau.
A integral fornece
h(t) =\frac{8}{17} -\;e^{-t/4}\Bigl(\tfrac{2}{17}\sin t+\tfrac{8}{17}\cos t\Bigr).

Passo 5

Substituindo em
y(t) =h(t-5)\,u(t-5)\;-\;h(t-20)\,u(t-20),
obtém-se a solução completa.

Resposta

Para 0\le t<5:
y(t)=0.
Para 5\le t<20:
y(t) =\frac{8}{17} -\;e^{-\tfrac{t-5}{4}}\Bigl(\tfrac{2}{17}\sin(t-5)+\tfrac{8}{17}\cos(t-5)\Bigr).
Para t\ge20:
y(t) =\biggl[\frac{8}{17} -\;e^{-\tfrac{t-5}{4}}\Bigl(\tfrac{2}{17}\sin(t-5)+\tfrac{8}{17}\cos(t-5)\Bigr)\biggr] -\biggl[\frac{8}{17} -\;e^{-\tfrac{t-20}{4}}\Bigl(\tfrac{2}{17}\sin(t-20)+\tfrac{8}{17}\cos(t-20)\Bigr)\biggr].

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