Usando convolução, encontre as transformadas inversas de Laplace das seguintes funções.
F(s)=\frac{2}{(s-1)\left(s^{2}+4\right)}.

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de \displaystyle F(s)=\frac{2}{(s-1)\bigl(s^{2}+4\bigr)}
usando a propriedade de convolução. Vamos usar transformadas inversas básicas e depois aplicar a definição de convolução.

Passo 2

Separe
F(s)=2\;\frac{1}{s-1}\;\frac{1}{s^{2}+4}.
Sabemos que \displaystyle \mathcal L^{-1}\{\tfrac{1}{s-1}\}=e^{t}
e \displaystyle \mathcal L^{-1}\{\tfrac{1}{s^{2}+4}\}=\tfrac{1}{2}\sin(2t).

Passo 3

Pela propriedade de convolução, se G(s)H(s) tem inversa g*h, então
\mathcal L^{-1}\{G(s)H(s)\} =\int_{0}^{t}g(t-\tau)\,h(\tau)\,\mathrm d\tau.
Aqui g(t)=e^{t} e h(t)=\tfrac12\sin(2t), logo
f(t)=\mathcal L^{-1}\{F(s)\} =2\int_{0}^{t}e^{\,t-\tau}\,\frac{1}{2}\sin(2\tau)\,\mathrm d\tau =\int_{0}^{t}e^{\,t-\tau}\sin(2\tau)\,\mathrm d\tau.

Passo 4

Extraia e^{t}:
f(t) =e^{t}\int_{0}^{t}e^{-\tau}\sin(2\tau)\,\mathrm d\tau.
Para calcular \displaystyle I=\int e^{-\tau}\sin(2\tau)\,\mathrm d\tau
use a fórmula
\int e^{a\tau}\sin(b\tau)\,\mathrm d\tau =\frac{e^{a\tau}\bigl(a\sin(b\tau)-b\cos(b\tau)\bigr)}{a^{2}+b^{2}}.
Aqui a=-1, b=2 e a^{2}+b^{2}=5.

Passo 5

Aplicando de 0 a t:
\int_{0}^{t}e^{-\tau}\sin(2\tau)\,\mathrm d\tau =\frac{1}{5}\Bigl[e^{-\tau}\bigl(-\sin(2\tau)-2\cos(2\tau)\bigr)\Bigr]_{0}^{t} =\frac{-e^{-t}\bigl(\sin(2t)+2\cos(2t)\bigr)+2}{5}.

Passo 6

Multiplique por e^{t}:
f(t) =e^{t}\,\frac{-e^{-t}\bigl(\sin(2t)+2\cos(2t)\bigr)+2}{5} =\frac{2e^{t}-\bigl(\sin(2t)+2\cos(2t)\bigr)}{5}.
Separando termos, obtemos
f(t) =\frac{2}{5}e^{t}-\frac{1}{5}\sin(2t)-\frac{2}{5}\cos(2t).

Resposta

f(t)=\frac{2}{5}e^{t}-\frac{1}{5}\sin(2t)-\frac{2}{5}\cos(2t).

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