Questão 10. Mostre que as funções dadas satisfazem a equação diferencial parcial z_{x x}+z_{y y}=0, chamada equação de Laplace.
z=\exp ^{x \operatorname{sen}(y)}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função dada satisfaz a equação de Laplace
z_{x x}+z_{y y}=0.
A expressão fornecida é z=\exp^{x \operatorname{sen}(y)}, que pode ser ambígua (pode significar e^{x\operatorname{sen}(y)} ou o produto e^{x}\operatorname{sen}(y)). Vou considerar a interpretação que leva a uma demonstração simples e típica deste exercício, ou seja:
z = e^{x}\,\operatorname{sen}(y).
Então o que temos de provar é que, para essa função,
z_{x x}+z_{y y}=0.
Lista das informações relevantes dadas:
  • A função é \displaystyle z(x,y)=e^{x}\,\operatorname{sen}(y).
  • Quer-se demonstrar que a soma das segundas derivadas parciais em x e em y é zero.

Passo 2

Lembrete das regras de derivação que vamos usar (com explicações simples):
  • Derivada parcial em relação a x: ao derivar \partial/\partial x trata-se y como constante.
  • Derivada parcial em relação a y: ao derivar \partial/\partial y trata-se x como constante.
  • Regra do produto (para funções de variáveis diferentes): se z(x,y)=f(x)\,g(y), então
\frac{\partial z}{\partial x}=f'(x)\,g(y), \qquad \frac{\partial z}{\partial y}=f(x)\,g'(y),
porque a parte que depende da outra variável é tratada como constante.
  • Derivada de e^{x} em relação a x é e^{x}.
  • Derivada de \operatorname{sen}(y) em relação a y é \operatorname{cos}(y), e a derivada segunda de \operatorname{sen}(y) é -\operatorname{sen}(y).
Essas regras bastam para calcular z_x, z_{xx}, z_y e z_{yy}.

Passo 3

Calcular a derivada parcial de z em relação a x.
Como \displaystyle z(x,y)=\underbrace{e^{x}}_{f(x)}\cdot\underbrace{\operatorname{sen}(y)}_{g(y)}, ao derivar em x a função g(y) é constante. Aplicando a regra do produto para esse caso:
\frac{\partial z}{\partial x}=f'(x)\,g(y)=\bigl(e^{x}\bigr)\,\operatorname{sen}(y).
Portanto,
z_{x}=e^{x}\,\operatorname{sen}(y).

Passo 4

Calcular a segunda derivada parcial z_{xx}.
Derivamos z_x=e^{x}\operatorname{sen}(y) em relação a x. Novamente \operatorname{sen}(y) é constante ao diferenciar em x, e a derivada de e^{x} é e^{x}. Assim:
z_{x x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}\operatorname{sen}(y)\bigr)=e^{x}\operatorname{sen}(y).

Passo 5

Calcular a derivada parcial de z em relação a y.
Agora, ao derivar em y, e^{x} é constante. A derivada de \operatorname{sen}(y) em relação a y é \operatorname{cos}(y). Logo:
z_{y}=e^{x}\,\operatorname{cos}(y).

Passo 6

Calcular a segunda derivada parcial z_{yy}.
Derivando z_y=e^{x}\operatorname{cos}(y) em relação a y, a parte e^{x} permanece constante e a derivada de \operatorname{cos}(y) é -\operatorname{sen}(y). Assim:
z_{y y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}\operatorname{cos}(y)\bigr)=e^{x}\bigl(-\operatorname{sen}(y)\bigr)=-e^{x}\operatorname{sen}(y).

Passo 7

Somar as segundas derivadas parciais para verificar a equação de Laplace.
Temos de um lado z_{x x}=e^{x}\operatorname{sen}(y) (Passo 4) e do outro z_{y y}=-e^{x}\operatorname{sen}(y) (Passo 6). Somando:
z_{x x}+z_{y y}=e^{x}\operatorname{sen}(y)-e^{x}\operatorname{sen}(y)=0.
Portanto a função satisfaz a equação de Laplace.

Resposta

z_{x x}+z_{y y}=0

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