Questão 6. A função f(x, y)= \begin{cases}\frac{x y}{x^{2}+x y+y^{2}}, & \text { se } x^{2}+x y+y^{2} \neq 0 \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}
é contínua na origem? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{xy}{x^{2}+xy+y^{2}}, & \text{se } x^{2}+xy+y^{2}\neq 0,\\[6pt] 0, & \text{se } (x,y)=(0,0). \end{cases}
A pergunta é: a função é contínua na origem (0,0)?
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • O valor de f em pontos diferentes da origem é \dfrac{xy}{x^{2}+xy+y^{2}}.
  • O valor dado em (0,0) é f(0,0)=0.
  • Para falar de continuidade em (0,0) precisamos investigar o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) e comparar com f(0,0).]

Passo 2

Definição que vamos usar (explicada passo a passo). Uma função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é contínua em (0,0) se e somente se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)
existe (ou seja, tem um único valor) e é igual a f(0,0). Aqui f(0,0)=0. Então precisamos verificar se o limite quando (x,y)\to(0,0) existe e, caso exista, se é 0.
Importante: em duas variáveis, o limite existe somente se for o mesmo para todas as maneiras (caminhos) de chegar em (0,0). Um método prático para testar existência do limite é calcular o limite ao longo de várias curvas simples (por exemplo retas); se dois caminhos darem limites diferentes, a conclusão imediata é que o limite geral não existe.

Passo 3

Escolho caminhos simples: retas que passam pela origem da forma (x,y)=(t,kt) com k\in\mathbb{R} e t\to 0. Essa escolha é útil porque reduz o problema a uma variável t e normalmente revela dependência do parâmetro k.
Substituindo y=kt e x=t na expressão de f (para t\neq 0):
f(t,kt)=\frac{t\cdot(kt)}{t^{2}+t\cdot(kt)+(kt)^{2}}.
Agora simplifico passo a passo:
\text{numerador} = kt^{2},
\text{denominador} = t^{2} + k t^{2} + k^{2} t^{2} = t^{2}(1+k+k^{2}).
Dividindo numerador por denominador:
f(t,kt)=\frac{kt^{2}}{t^{2}(1+k+k^{2})}=\frac{k}{1+k+k^{2}} \quad\text{para } t\neq 0.

Passo 4

Observe que o resultado \dfrac{k}{1+k+k^{2}} é independente de t. Portanto, ao aproximar a origem ao longo da reta y=kx ( t\to 0), o valor de f(t,kt) permanece constante igual a \dfrac{k}{1+k+k^{2}}. Assim o limite ao longo dessa reta é
\lim_{t\to 0} f(t,kt)=\frac{k}{1+k+k^{2}}.
Antes de usar isso, verifico que o denominador 1+k+k^{2} nunca é zero para k\in\mathbb{R}. De fato, o polinômio k^{2}+k+1 tem discriminante \Delta=1-4=-3<0, logo é sempre positivo; portanto não há problema de divisão por zero.

Passo 5

Como o limite ao longo da reta y=kx depende de k, diferentes retas podem dar limites distintos. Dou exemplos concretos para fixar a ideia:
  • Para k=0 (reta y=0):
\frac{k}{1+k+k^{2}}=\frac{0}{1+0+0}=0.
  • Para k=1 (reta y=x):
\frac{k}{1+k+k^{2}}=\frac{1}{1+1+1}=\frac{1}{3}.
  • Para k=-1 (reta y=-x):
\frac{k}{1+k+k^{2}}=\frac{-1}{1-1+1}=-1.
Esses três valores são diferentes ( 0, \tfrac{1}{3} e -1). Portanto existem caminhos dirigindo-se a (0,0) que produzem limites distintos. Isso implica que o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) NÃO existe.

Passo 6

Como o limite não existe, não pode ser igual a f(0,0)=0. Pela definição de continuidade, a função f não é contínua em (0,0).
(Em palavras amigas: ao se aproximar da origem por diferentes retas, a razão xy/(x^{2}+xy+y^{2}) “pára” em valores diferentes; não há um único número que represente o comportamento em todas as direções, logo a continuidade falha.)

Resposta

Não, a função não é contínua em (0,0).

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