Questão 3 (10 pontos)

Um circuito RL em série é formado por um resistor de 1 \mathrm{k} \Omega e um indutor de 1 \mathrm{mH} . \mathrm{Em} \mathrm{t}=0 \mathrm{~s}, uma fonte de tensão degrau de 5 V é aplicada ao circuito. Qual é a corrente no indutor como função do tempo? E qual é a corrente no indutor após 5 \mu \mathrm{~s} ?

Passo 1

O enunciado descreve um circuito série RL com R=1\,\mathrm{k}\Omega e L=1\,\mathrm{mH}. Em t=0 é aplicado um degrau de tensão de 5\,\mathrm{V}. Precisamos encontrar a corrente no indutor como função do tempo i(t) e, em seguida, avaliar essa expressão em t=5\,\mu\mathrm{s}. Para isso usaremos a equação diferencial de primeira ordem obtida pela Lei das Malhas e a definição da constante de tempo \tau=L/R.

Passo 2

Pela Lei das Malhas em regime transiente temos
V = R\,i(t) + L\,\frac{di(t)}{dt}.
Reescrevendo em forma padrão:
\frac{di(t)}{dt} + \frac{R}{L}\,i(t) = \frac{V}{L}.
A solução geral dessa equação é a soma da solução particular i_p = V/R e da solução homogênea i_h = A\,e^{-Rt/L}. Impomos a condição inicial i(0)=0 (antes do degrau não há corrente), o que leva a
i(t) = \frac{V}{R}\Bigl(1 - e^{-\tfrac{R}{L}t}\Bigr).

Passo 3

Substituindo os valores numéricos:
R = 1\times 10^{3}\,\Omega,\quad L = 1\times 10^{-3}\,\mathrm{H},\quad V = 5\,\mathrm{V},
a constante de tempo é
\tau = \frac{L}{R} = \frac{1\times10^{-3}}{1\times10^{3}} = 1\times10^{-6}\,\mathrm{s} = 1\,\mu\mathrm{s}.
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i(t) = \frac{5}{1000}\,\mathrm{A}\Bigl(1 - e^{-t/(1\,\mu\mathrm{s})}\Bigr) = 5\times10^{-3}\,\mathrm{A}\,\bigl(1 - e^{-t/1\,\mu\mathrm{s}}\bigr).
Em t = 5\,\mu\mathrm{s} temos
i(5\,\mu\mathrm{s}) = 5\times10^{-3}\,\mathrm{A}\,\bigl(1 - e^{-5}\bigr) \approx 5\times10^{-3}\,\mathrm{A}\times0,9933 \approx 4,967\times10^{-3}\,\mathrm{A}.

Resposta

i(t) = 5\times10^{-3}\,\mathrm{A}\,\bigl(1 - e^{-t/1\,\mu\mathrm{s}}\bigr).
i(5\,\mu\mathrm{s}) \approx 4,97\times10^{-3}\,\mathrm{A}.

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