Questão 5 ( \mathbf{4 0} pontos)

Um circuito RC é frequentemente usado como um temporizador simples. O tempo que o circuito leva para "carregar"ou "descarregar"pode ser ajustado alterando os valores do resistor e do capacitor.
Suponha que você tenha um circuito RC em série onde um resistor (\mathrm{R}) e um capacitor (\mathrm{C}) estão conectados em série a uma fonte de tensão degrau de 160 \mathrm{~V} . \mathrm{Em} \mathrm{t}=0 \mathrm{~s}, a fonte de tensão é ligada ao circuito. Você precise projetar um temporizador que acenda uma lâmpada de alerta após um atraso de 5 segundos. Assuma que a lâmpada acende quando a tensão no capacitor atinge 100 V e o resistor dissipa, no máximo, 1 / 4 \mathrm{~W}. Qual valor de resistor e de capacitor você deve usar para obter o atraso desejado?
Procure na internet um capacitor comercial que atenda a especificação necessária para o projeto e explique a escolha deste componente.

Passo 1

O enunciado pede que projetemos um temporizador formado por um circuito RC em série, alimentado por um degrau de tensão de 160 V em t=0. A lâmpada deve acender quando a tensão no capacitor atingir 100 V, exatamente após um atraso de 5 s. Além disso, o resistor não pode dissipar mais que 1/4 W. Para resolver, vamos usar a expressão da carga do capacitor em resposta a um degrau e a fórmula de potência dissipada no resistor.

Passo 2

A tensão no capacitor no instante t é
V_C(t)=V\bigl(1-e^{-t/(RC)}\bigr).
Queremos V_C(5)=100 V com V=160 V, então
\frac{100}{160}=1-e^{-5/(RC)} \quad\Longrightarrow\quad e^{-5/(RC)}=1-\frac{100}{160}=0,375.
Tomando logaritmo,
-\frac{5}{RC}=\ln(0,375)\quad\Longrightarrow\quad RC=-\frac{5}{\ln(0,375)}\approx5{,}10\text{ s}.

Passo 3

No instante inicial a corrente é I(0)=V/R, de modo que a potência máxima no resistor é
P_{\max} = I(0)^2\,R = \frac{V^2}{R}\le\frac{1}{4}\text{ W}.
Logo
\frac{160^2}{R}\le0{,}25 \quad\Longrightarrow\quad R\ge\frac{160^2}{0,25}=102\,400\\ \Omega\approx102{,}4\text{ k}\Omega.

Passo 4

Queremos RC=5{,}10 s e R\ge102{,}4 kΩ. Para usar um capacitor comercial de densidade razoável, escolhemos
C=10\\ \mu\text{F},
então
R=\frac{5{,}10}{10\times10^{-6}}\approx510\,000\\ \Omega=510\text{ k}\Omega,
que satisfaz R>102{,}4 kΩ. A potência inicial no resistor fica
P_{\max}=\frac{160^2}{510\times10^3}\approx0{,}050\text{ W}\ll0{,}25\text{ W},
ou seja, está bem dentro do limite.

Passo 5

Para o capacitor precisamos de pelo menos 160 V de tensão de trabalho. Indicamos um capacitor metalizado de filme de polipropileno de
10\\ \mu\text{F},\quad250\\ \text{V DC},\quad\pm5\%
porque esses capacitores têm baixa variação de capacitância com a tensão, boa estabilidade térmica e são fabricados em valores até 10 μF com tensões acima de 200 V.

Resposta

R = 510 kΩ (metal film, ¼ W)
C = 10 μF, 250 V (metallized polypropylene film, \pm 5 %)

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