Questão 10 - Resolva as seguintes equações exponenciais:
4^{(x+1)}-33 \cdot 2^{x}+8=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial \r
4^{(x+1)} - 33 \cdot 2^{x} + 8 = 0.\r
O conteúdo envolvido é equações exponenciais de base 2 e usaremos uma substituição para transformar em uma equação quadrática.

Passo 2

Escrevemos 4^{(x+1)} em termos de 2^x: \r
4^{(x+1)} = 4 \cdot 4^x = 4 \cdot (2^2)^x = 4\,(2^x)^2.

Passo 3

Fazendo a troca a = 2^x (com a>0), a equação vira \r
4a^2 - 33a + 8 = 0.

Passo 4

Aplicamos a fórmula de Bhaskara para
4a^2 - 33a + 8 = 0.\r
O discriminante é
\Delta = (-33)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 8 = 1089 - 128 = 961,\r
logo
a = \frac{33 \pm \sqrt{961}}{2 \cdot 4} = \frac{33 \pm 31}{8}.\r
Isso fornece
a_1 = \frac{33 + 31}{8} = 8 \quad\text{e}\quad a_2 = \frac{33 - 31}{8} = \tfrac{1}{4}.

Passo 5

Voltando a x pela relação 2^x = a: \r
  • Se a = 8, temos 2^x = 8 = 2^3, logo x = 3. \r
  • Se a = \tfrac{1}{4}, temos 2^x = 2^{-2}, logo x = -2.

Resposta

x = 3 ou x = -2

Exercícios relacionados