Questão 11 - Construa sobre um mesmo sistema de coordenadas cartesianas, os gráficos das seguintes funções dados abaixo, como eles se relacionam, fazendo uso do software Geogebra.
f(x)=2^{x} ; g(x)=e^{x} ; h(x)=5^{x} ; y(x)=20^{x}

Passo 1

O enunciado pede para construirmos, num mesmo sistema de coordenadas, os gráficos das funções
f(x)=2^{x},\quad g(x)=e^{x},\quad h(x)=5^{x},\quad y(x)=20^{x}
usando o software GeoGebra. O conteúdo é função exponencial e vamos usar o GeoGebra para plotar todas as curvas simultaneamente e depois comparar seu comportamento.

Passo 2

No GeoGebra, abra uma nova janela de “Vista Gráfica” e ajuste os eixos de modo a visualizarmos bem a região de interesse, por exemplo definindo
-3 \le x \le 3,\quad 0 \le y \le 100
ou um intervalo semelhante que mostre a parte negativa de x e o rápido crescimento em y. Ative a grade e a malha para facilitar a leitura.

Passo 3

Digite no campo de entrada do GeoGebra, um por um, os comandos
f(x)=2^x
g(x)=e^x
h(x)=5^x
y(x)=20^x
O GeoGebra irá desenhar automaticamente as quatro curvas no mesmo plano.

Passo 4

Note que todas as quatro curvas passam pelo ponto (0,1), pois para qualquer base positiva a\neq1 vale a^0=1. Além disso cada curva é crescente e estritamente convexa, já que a derivada de a^x é \ln(a)\,a^x>0.

Passo 5

Compare a inclinação inicial e o crescimento para x>0: quanto maior a base a, maior \ln(a) e mais rápido cresce a^x. Assim, para x>0 a ordem é
2^x < e^x < 5^x < 20^x.
Para x<0, as potências diminuem quando a base é maior, invertendo a ordem:
2^x > e^x > 5^x > 20^x.

Resposta

Os quatro gráficos passam por (0,1) e são crescentes e convexos. No eixo positivo de x a ordem de alturas é
2^x < e^x < 5^x < 20^x,
enquanto para x<0 as desigualdades se invertem:
2^x > e^x > 5^x > 20^x.

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