Questão 10 - Resolva as seguintes equações exponenciais:
(\sqrt{10})^{x} \cdot(0.01)^{(4 x-1)}=\frac{1}{1000}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação exponencial (\sqrt{10})^{x}\,\cdot\,(0.01)^{(4x-1)} = \tfrac{1}{1000}.
O tema aqui é equações envolvendo potências com bases diferentes. A estratégia é reescrever todas as bases em potências de 10, para igualar as bases e depois comparar expoentes.

Passo 2

Observamos as identidades em base 10: \sqrt{10} = 10^{\tfrac12}, 0.01 = 10^{-2} e \tfrac{1}{1000} = 10^{-3}.
Vamos substituir cada termo por essas potências de 10.

Passo 3

Substituindo na equação original, obtemos
(10^{\tfrac12})^x \;\cdot\;(10^{-2})^{\,4x-1} \;=\; 10^{-3}.
Pela propriedade (a^m)^n = a^{mn}, o lado esquerdo fica
10^{\,\tfrac x2}\;\cdot\;10^{-2(4x-1)} \;=\; 10^{\,\tfrac x2 -8x +2} \;=\; 10^{\,-\tfrac{15x}{2} +2}\,.

Passo 4

Agora temos
10^{-\tfrac{15x}{2} +2} \;=\; 10^{-3}.
Como a base 10 é a mesma nos dois lados, basta igualar os expoentes:
-\tfrac{15x}{2} +2 = -3.

Passo 5

Resolvendo a equação linear para x:
-\tfrac{15x}{2} = -3 -2 = -5 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{-5}{-15/2} = \frac{-5\cdot2}{-15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}.

Resposta

x = \tfrac{2}{3}

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