Questão 10 - Resolva as seguintes equações exponenciais:
(\sqrt[3]{25})^{x}=\left(\frac{1}{125}\right)^{(3-x)}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial (\sqrt[3]{25})^{x} = \bigl(\tfrac{1}{125}\bigr)^{3 - x}.
O conteúdo envolvido são propriedades de potências e mudança de base para igualar as bases.

Passo 2

Reescrevemos ambas as bases em função de 5: \sqrt[3]{25} = 25^{1/3} = (5^2)^{1/3} = 5^{2/3}
e \tfrac{1}{125} = 5^{-3}.
Logo,
(\sqrt[3]{25})^{x} = \bigl(5^{2/3}\bigr)^{x} = 5^{\frac{2x}{3}},
\Bigl(\tfrac{1}{125}\Bigr)^{3 - x} = \bigl(5^{-3}\bigr)^{3 - x} = 5^{-3(3 - x)} = 5^{-9 + 3x}.

Passo 3

Como temos 5^{\frac{2x}{3}} = 5^{-9 + 3x} e a base 5\neq 1, igualamos os expoentes:
\frac{2x}{3} = -9 + 3x.
Multiplicando tudo por 3:
2x = -27 + 9x \quad\Longrightarrow\quad -7x = -27 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{27}{7}.

Resposta

x = \frac{27}{7}.

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