Questão 10. Seja A um anel. Mostre que as seguintes condições são equivalentes
(a) A o único nilpotente é o elemento nulo
(b) se a \in A é tal que a^{2}=0, então a=0.

Passo 1

O enunciado considera um anel A e pede para mostrar que são equivalentes:
(a) o único elemento nilpotente de A é 0;
(b) se a\in A satisfaz a^2=0, então a=0.
Para resolver, vamos usar a definição de nilpotente (existe n>0 tal que a^n=0) e argumentar por implicação direta e contrarrelação.

Passo 2

Prova de (a)\Rightarrow(b).
Seja a\in A com a^2=0. Então a é nilpotente de índice 2. Pela hipótese (a), o único nilpotente é 0. Logo a=0. Isso mostra (a)\Rightarrow(b).

Passo 3

Prova de (b)\Rightarrow(a).
Suponha agora que (b) valha e tome a\in A nilpotente não nulo. Seja n\ge1 mínimo tal que
a^n=0.
Como a\neq0, temos n>1. Então o elemento b=a^{n-1} não é zero (pelo minimalidade de n) e
b^2 = (a^{n-1})^2 = a^{2n-2} = a^{n-2}\,a^n = a^{n-2}\cdot0 = 0.
Pela hipótese (b), de b^2=0 segue b=0, contradição. Portanto não existe nilpotente não nulo em A, ou seja, só o zero é nilpotente.

Resposta

As condições (a) e (b) são equivalentes.

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