Questão 10. Seja
um anel. Mostre que as seguintes condições são equivalentes
(a)
o único nilpotente é o elemento nulo
(b) se
é tal que
, então
.
(a)
(b) se
Passo 1
O enunciado considera um anel
e pede para mostrar que são equivalentes:
(a) o único elemento nilpotente de é
;
(b) se satisfaz
, então
.
Para resolver, vamos usar a definição de nilpotente (existe tal que
) e argumentar por implicação direta e contrarrelação.
(a) o único elemento nilpotente de
(b) se
Para resolver, vamos usar a definição de nilpotente (existe
Passo 2
Prova de
.
Seja com
. Então
é nilpotente de índice
. Pela hipótese (a), o único nilpotente é
. Logo
. Isso mostra
.
Seja
Passo 3
Prova de
.
Suponha agora que (b) valha e tome nilpotente não nulo. Seja
mínimo tal que
Suponha agora que (b) valha e tome
Como
, temos
. Então o elemento
não é zero (pelo minimalidade de
) e
Pela hipótese (b), de
segue
, contradição. Portanto não existe nilpotente não nulo em
, ou seja, só o zero é nilpotente.
Resposta
As condições (a) e (b) são equivalentes.