Questão 10. Sejam A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 1+x^{2} \leq y \leq 2+x^{2}, x \geq 0\right. e \left.y \geq x+x^{2}\right\} e B=\left\{(u, v) \in \mathbb{R}^{2} \mid 1 \leq\right. v \leq 2, v \geq u e u \geq 0\}.
a) Verifique que B=\varphi(A) onde (u, v)=\varphi(x, y), com u=x e v=y-x^{2}.
b) Verifique que a área de A é igual à área de B.
Passo 1
O enunciado dá duas regiões em \mathbb{R}^2 e uma transformação \varphi. Vou listar claramente o que nos foi dado e o que se pede:
Defina (u,v)=\varphi(x,y), isto é u=x e v=y-x^{2}. Agora transformo cada condição em termos de u e v:
Da desigualdade 1+x^{2}\le y subtraindo x^{2} em ambos os lados obtemos
1 \le y-x^{2} = v,
ou seja 1\le v.
Da desigualdade y\le 2+x^{2} subtraindo x^{2} obtemos
v \le 2,
ou seja v\le 2. Juntando com a anterior temos 1\le v\le 2.
Da condição y\ge x+x^{2} subtraindo x^{2} dois lados dá
v \ge x.
Mas x=u, logo v\ge u.
Finalmente x\ge 0 é u\ge 0.
Portanto (u,v) satisfaz 1\le v\le 2,\; v\ge u,\; u\ge 0, ou seja (u,v)\in B. Como (x,y) era arbitrário em A, concluímos \varphi(A)\subseteq B.
Passo 3
Agora verifico a inclusão contrária B\subseteq\varphi(A). Pegue um ponto arbitrário (u,v)\in B. Temos
1\le v\le 2,\qquad v\ge u,\qquad u\ge 0.
Quero encontrar (x,y)\in A tal que \varphi(x,y)=(u,v). A maneira natural é tentar a inversa óbvia: definir
x=u,\qquad y=v+x^{2}=v+u^{2}.
Vou checar que (x,y) pertence a A:
Como 1\le v\le 2, adicionando x^{2}=u^{2} em cada membro obtemos
1+u^{2}\le v+u^{2}\le 2+u^{2},
ou seja
1+x^{2}\le y\le 2+x^{2}.
A condição v\ge u torna-se y-x^{2}=v\ge u=x, ou seja y\ge x+x^{2}.
E u\ge 0 implica x\ge 0.
Assim (x,y) satisfaz todas as condições de A. Além disso \varphi(x,y)=(u,y-x^{2})=(u,v) por construção. Como (u,v) era arbitrário de B, temos B\subseteq\varphi(A).
Com as duas inclusões obtemos a igualdade desejada:
B=\varphi(A).
Passo 4
Agora explico por que as áreas de A e B são iguais. Conceito-chave: a área de uma região R\subset\mathbb{R}^2 pode ser escrita como a integral dupla
\text{Area}(R)=\iint_{R} 1\,dA.
Se fizermos uma mudança de variáveis suave e bijetora (u,v)\mapsto (x,y) com inversa diferenciável, então a integral se transforma pela regra da mudança de variáveis (fórmula do Jacobiano):
Aqui \displaystyle \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} é a matriz jacobiana da transformação inversa (u,v)\mapsto(x,y), e seu determinante mede localmente o fator de escala de áreas causado pela transformação. Vou aplicar isso com f\equiv 1.
Passo 5
Determinamos a inversa explícita de \varphi. Já vimos na construção anterior que a inversa \varphi^{-1}:B\to A é
\varphi^{-1}(u,v)=(x,y),\quad x=u,\; y=v+u^{2}.
Calculo a matriz jacobiana \displaystyle \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}. As derivadas parciais são
Portanto \left|\det\!\left(\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right)\right|=1 em todo B. Isso significa que localmente a transformação preserva áreas (fator de escala igual a 1).]
Passo 6
Usando a fórmula da mudança de variáveis para a área de A: