Questão 7. Passe para coordenadas polares e calcule
onde
é o círculo
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é o conjunto definido por
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A região
é o interior (e borda) do círculo dado por . - Há a restrição
, ou seja, apenas a parte desse disco com não negativo. - A integral a calcular é da função
sobre a região .
Passo 2
Interpretar geometricamente o conjunto
(isso facilita passar para coordenadas polares).
Completar o quadrado em
:
Assim a condição
é equivalente a
Isto mostra que a região é o disco de centro
e raio
. Com a condição adicional
,
é a metade direita desse disco (incluindo a borda).
Passo 3
Explicar coordenadas polares e o elemento de área (Jacobiando).
Definição de coordenadas polares:
onde
é a distância ao eixo origem e
é o ângulo medido a partir do eixo
positivo.
O elemento de área
transforma-se em polar como
Explicação rápida do fator
: um pequeno retângulo em polares tem lados aproximados
e
, então a área é
.
Passo 4
Descrever a região
em coordenadas polares substituindo
e
na inequação do círculo.
Substituindo
e
em
:
Colocando em evidência
:
Como
, isso acontece quando
e simultaneamente
(caso contrário
seria negativo e não haveria
satisfazendo a desigualdade além de
).
Além disso precisamos de
, isto é
. Portanto:
A interseção dos dois intervalos é
Logo a descrição em polares da região
é:
Passo 5
Passar a integral para coordenadas polares: expressar o integrando e o elemento de área.
A função integranda
em polares é
Multiplicando pelo Jacobiano
obtemos o integrando em
:
Portanto a integral torna-se
Passo 6
Calcular a integral interna em
.
Para cada
fixo,
Multiplicando pelo fator angular
que estava fora da integral em
, obtemos a integral em
:
Passo 7
Calcular a integral em
usando substituição.
Faça a substituição
Quando
tem-se
. Quando
tem-se
.
A integral torna-se
A integral torna-se
Passo 8
Comentário final breve: o cálculo mostra que a integral dupla é um número positivo e finito, obtido como
.