Questão 7. Passe para coordenadas polares e calcule
\iint_{B} x y d x d y onde B é o círculo x^{2}+y^{2}-2 y \leq 0, x \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{B} x y \,dx\,dy
onde B é o conjunto definido por
x^{2}+y^{2}-2y \le 0,\qquad x\ge 0.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A região B é o interior (e borda) do círculo dado por x^{2}+y^{2}-2y=0.
  • Há a restrição x\ge 0, ou seja, apenas a parte desse disco com x não negativo.
  • A integral a calcular é da função f(x,y)=xy sobre a região B.

Passo 2

Interpretar geometricamente o conjunto B (isso facilita passar para coordenadas polares).
Completar o quadrado em y:
x^{2}+y^{2}-2y = x^{2} + (y^{2}-2y) = x^{2} + (y-1)^{2} -1.
Assim a condição x^{2}+y^{2}-2y \le 0 é equivalente a
x^{2} + (y-1)^{2} \le 1.
Isto mostra que a região é o disco de centro (0,1) e raio 1. Com a condição adicional x\ge 0, B é a metade direita desse disco (incluindo a borda).

Passo 3

Explicar coordenadas polares e o elemento de área (Jacobiando).
Definição de coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao eixo origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo.
O elemento de área dx\,dy transforma-se em polar como
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Explicação rápida do fator r: um pequeno retângulo em polares tem lados aproximados dr e r\,d\theta, então a área é dr\cdot(r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Descrever a região B em coordenadas polares substituindo x e y na inequação do círculo.
Substituindo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta em x^{2}+y^{2}-2y\le 0:
r^{2} - 2r\sin\theta \le 0.
Colocando em evidência r:
r\bigl(r - 2\sin\theta\bigr) \le 0.
Como r\ge 0, isso acontece quando 0\le r\le 2\sin\theta e simultaneamente \sin\theta\ge 0 (caso contrário 2\sin\theta seria negativo e não haveria r>0 satisfazendo a desigualdade além de r=0).
Além disso precisamos de x\ge 0, isto é \cos\theta\ge 0. Portanto:
\sin\theta\ge 0 \implies \theta\in [0,\pi],\qquad \cos\theta\ge 0 \implies \theta\in [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}].
A interseção dos dois intervalos é
\theta\in [0,\tfrac{\pi}{2}].
Logo a descrição em polares da região B é:
0\le \theta \le \tfrac{\pi}{2},\qquad 0\le r \le 2\sin\theta.

Passo 5

Passar a integral para coordenadas polares: expressar o integrando e o elemento de área.
A função integranda xy em polares é
xy = (r\cos\theta)(r\sin\theta)= r^{2}\cos\theta\sin\theta.
Multiplicando pelo Jacobiano r obtemos o integrando em r,\theta:
xy\,dx\,dy = r^{2}\cos\theta\sin\theta \cdot r\,dr\,d\theta = r^{3}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.
Portanto a integral torna-se
\iint_{B} xy\,dx\,dy = \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\int_{0}^{2\sin\theta} r^{3}\cos\theta\sin\theta \,dr\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral interna em r.
Para cada \theta fixo,
\int_{0}^{2\sin\theta} r^{3}\,dr = \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{2\sin\theta} = \frac{(2\sin\theta)^{4}}{4} = \frac{16\sin^{4}\theta}{4}=4\sin^{4}\theta.
Multiplicando pelo fator angular \cos\theta\sin\theta que estava fora da integral em r, obtemos a integral em \theta:
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} 4\sin^{4}\theta \cdot \cos\theta\sin\theta \,d\theta = \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} 4\sin^{5}\theta\cos\theta \,d\theta.

Passo 7

Calcular a integral em \theta usando substituição.
Faça a substituição
u=\sin\theta \quad\Rightarrow\quad du=\cos\theta\,d\theta.
Quando \theta=0 tem-se u=0. Quando \theta=\tfrac{\pi}{2} tem-se u=1.
A integral torna-se
4\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \sin^{5}\theta\cos\theta\,d\theta = 4\int_{0}^{1} u^{5}\,du = 4\left[\frac{u^{6}}{6}\right]_{0}^{1} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.

Passo 8

Comentário final breve: o cálculo mostra que a integral dupla é um número positivo e finito, obtido como \dfrac{2}{3}.

Resposta

\dfrac{2}{3}

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