Questão 101 (UFRJ-2000-adaptado). Um capital é aplicado por 12 anos e seis meses a juros compostos de 0,5 \% a.m. No final desse período, o rendimento acumulado, será igual, inferior ou superior a 100 \% ?(Justifique sua resposta).

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma comparação clara:
  • Taxa de juros compostos mensal: 0{,}5\% ao mês.
  • Tempo de aplicação: 12 anos e 6 meses.
    Pergunta: o rendimento acumulado ao final desse período será igual, inferior ou superior a 100\%?
    Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Converter a taxa percentual para decimal: a taxa mensal em decimal é i=0{,}5\%=0{,}005.
  • Converter o tempo para meses (períodos): 12 anos =12\cdot12=144 meses; mais 6 meses dá n=144+6=150 meses.

Passo 2

Fórmula do montante em juros compostos (aula rápida): se um capital inicial é C, a taxa por período é i (em decimal) e o número de períodos é n, o montante final M vale
M = C(1+i)^{n}.
Aqui a razão (fator de acumulação) é (1+i)^{n}. O rendimento acumulado, como porcentagem do capital, é (1+i)^{n}-1 multiplicado por 100\%. Portanto, dizer que o rendimento é exatamente 100\% equivale a ter
(1+i)^{n}=2.
Queremos verificar se (1+0{,}005)^{150} é menor, igual ou maior que 2.

Passo 3

Colocando os números do problema na fórmula:
(1+i)^{n}=(1+0{,}005)^{150}=(1{,}005)^{150}.
O objetivo técnico: comparar (1{,}005)^{150} com 2. Uma maneira precisa e conveniente para comparar potências é usar logaritmos, porque
(1{,}005)^{150}>2 \quad\Longleftrightarrow\quad 150\ln(1{,}005)>\ln 2.
Então vamos avaliar 150\ln(1{,}005) e comparar com \ln 2.

Passo 4

Cálculo de \ln(1+u) por série (mini-aula): para u pequeno e positivo vale a expansão em série de Taylor
\ln(1+u)=u-\frac{u^{2}}{2}+\frac{u^{3}}{3}-\frac{u^{4}}{4}+\cdots.
Essa é uma série alternada (sinais trocam) com termos de magnitude decrescente quando 0<u<1. Portanto, se truncarmos após o segundo termo, o resto é positivo, o que dá a desigualdade útil
\ln(1+u) > u-\frac{u^{2}}{2}\qquad\text{para }0<u<1.
Isto nos dá um limite inferior simples e rigoroso para \ln(1+u) sem precisar de calculadora sofisticada.

Passo 5

Aplicando a desigualdade ao nosso u=0{,}005:
\ln(1{,}005) > 0{,}005 - \frac{(0{,}005)^{2}}{2}.
Calculemos passo a passo (tudo em decimal):
(0{,}005)^{2}=0{,}000025,
\frac{(0{,}005)^{2}}{2}=0{,}0000125,
0{,}005-0{,}0000125=0{,}0049875.
Logo
\ln(1{,}005)>0{,}0049875.

Passo 6

Multiplicando por 150 para comparar com \ln 2:
150\ln(1{,}005) > 150\cdot 0{,}0049875 = 0{,}748125.
Sabendo que
\ln 2 \approx 0{,}693147,
temos
150\ln(1{,}005) > 0{,}748125 > 0{,}693147 \approx \ln 2.
Portanto
150\ln(1{,}005)>\ln 2 \quad\Rightarrow\quad (1{,}005)^{150}>2.
Isto mostra matematicamente que o fator de acumulação é maior que 2.

Passo 7

Interpretação numérica rápida (apenas para intuição): usando a aproximação \ln(1{,}005)\approx 0{,}00498753 tem-se
(1{,}005)^{150}\approx e^{150\cdot 0{,}00498753}\approx e^{0{,}74813}\approx 2{,}1135,
ou seja, o montante fica cerca de 2{,}1135 vezes o capital, correspondendo a um rendimento aproximado de 111{,}35\%. (Essa linha é uma aproximação; a demonstração rigorosa da superioridade de 2 já foi feita pelos passos anteriores.)

Resposta

Superior a 100\% (o montante relativo é aproximadamente 2{,}1135, rendimento ≈ 111{,}35\%).

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