Questão 101 (UFRJ-2000-adaptado). Um capital é aplicado por 12 anos e seis meses a juros compostos de
a.m. No final desse período, o rendimento acumulado, será igual, inferior ou superior a
?(Justifique sua resposta).
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma comparação clara:
- Taxa de juros compostos mensal:
ao mês. - Tempo de aplicação:
anos e meses.
Pergunta: o rendimento acumulado ao final desse período será igual, inferior ou superior a?
Informações relevantes extraídas do enunciado: - Converter a taxa percentual para decimal: a taxa mensal em decimal é
. - Converter o tempo para meses (períodos):
anos meses; mais meses dá meses.
Passo 2
Fórmula do montante em juros compostos (aula rápida): se um capital inicial é
, a taxa por período é
(em decimal) e o número de períodos é
, o montante final
vale
Aqui a razão (fator de acumulação) é
. O rendimento acumulado, como porcentagem do capital, é
multiplicado por
. Portanto, dizer que o rendimento é exatamente
equivale a ter
Queremos verificar se
é menor, igual ou maior que
.
Passo 3
Colocando os números do problema na fórmula:
O objetivo técnico: comparar
com
. Uma maneira precisa e conveniente para comparar potências é usar logaritmos, porque
Então vamos avaliar
e comparar com
.
Passo 4
Cálculo de
por série (mini-aula): para
pequeno e positivo vale a expansão em série de Taylor
Essa é uma série alternada (sinais trocam) com termos de magnitude decrescente quando
. Portanto, se truncarmos após o segundo termo, o resto é positivo, o que dá a desigualdade útil
Isto nos dá um limite inferior simples e rigoroso para
sem precisar de calculadora sofisticada.
Passo 5
Aplicando a desigualdade ao nosso
:
Calculemos passo a passo (tudo em decimal):
Logo
Passo 6
Multiplicando por
para comparar com
:
Sabendo que
temos
Portanto
Isto mostra matematicamente que o fator de acumulação é maior que
.
Passo 7
Interpretação numérica rápida (apenas para intuição): usando a aproximação
tem-se
ou seja, o montante fica cerca de
vezes o capital, correspondendo a um rendimento aproximado de
. (Essa linha é uma aproximação; a demonstração rigorosa da superioridade de
já foi feita pelos passos anteriores.)
Resposta
Superior a
(o montante relativo é aproximadamente
, rendimento ≈
).