Questão 88. Determine o valor de
na expressão:
.
Passo 1
O enunciado dá a igualdade entre duas somas e pede determinar o valor de
:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A soma da esquerda é
, ou seja, soma de termos do tipo multiplicados por , com variando de a . - A soma da direita é
, que é a soma de todos os coeficientes binomiais de ordem . - A pergunta é: qual é o valor de
que faz as duas somas iguais?
Passo 2
Vamos entender uma identidade útil (apresentada de maneira didática): para qualquer número inteiro
e qualquer número real
, vale a fórmula
Explicando essa fórmula passo a passo:
-
significa multiplicar por ele mesmo vezes. -
(lido "combinação de elementos tomados a ") é o coeficiente que aparece na expansão; ele conta de quantas maneiras escolhemos fatores entre os fatores . - O somatório
lista os termos da expansão: o termo com tem coeficiente .
Pequeno exemplo concreto para fixar: para,
e isso corresponde a
.
Passo 3
Aplique a identidade do passo anterior à soma da esquerda. Tome
e
. Pela fórmula temos:
Portanto a soma da esquerda é exatamente
. Simplificando,
Passo 4
Agora trate a soma da direita. Ainda usando a mesma identidade com
e
, obtemos:
Como
para todo
, a soma dos coeficientes binomiais de ordem
é
Passo 5
Igualando as duas expressões obtidas nos passos anteriores, a igualdade do enunciado fica:
Reescrevendo
como potência de base
, tem-se
. Assim
Pela unicidade da potência com mesma base
, concluímos que os expoentes devem ser iguais, logo
.