Questão 102 (OCM-1984). Considere o desenvolvimento de p(x)=\sum_{n=10}^{100}(x+1)^{n} como polinômio em potências de x. Encontre neste desenvolvimento o coeficiente de:
x^{98}.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
p(x)=\sum_{n=10}^{100}(x+1)^{n}
e pede: encontrar, no desenvolvimento de p(x) em potências de x, o coeficiente de x^{98}.
Informações relevantes que o enunciado fornece (sem resolver ainda):
  • A soma é sobre n de 10 até 100.
  • Cada termo é (x+1)^n.
  • Quer-se o coeficiente do monômio x^{98} no polinômio resultante.

Passo 2

Vamos lembrar como se expande (x+1)^n: pela fórmula do binômio de Newton,
(x+1)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k}.
Explicando essa fórmula com calma:
  • O símbolo \binom{n}{k} (lido “n escolhe k”) é o coeficiente binomial e representa o número de maneiras de escolher k itens dentre n. Ele é dado por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) é o produto n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1.
  • Na expansão acima, o termo que multiplica x^k é exatamente \binom{n}{k}. Portanto, ao expandir (x+1)^n, o coeficiente de x^{98} é \binom{n}{98}, desde que 98\le n. Se n<98, então (x+1)^n não tem termo x^{98} e contribui com 0.

Passo 3

Aplicando isso à soma p(x)=\sum_{n=10}^{100}(x+1)^{n}, o coeficiente desejado (chamemos de C) é a soma, para cada n de 10 a 100, do coeficiente de x^{98} em (x+1)^n. Pela observação anterior somente os n com n\ge 98 contribuem. Assim
C=\sum_{n=10}^{100}\big(\text{coeficiente de }x^{98}\text{ em }(x+1)^n\big) =\sum_{n=98}^{100}\binom{n}{98}.

Passo 4

Agora calculamos explicitamente cada termo da soma:
  • \displaystyle \binom{98}{98}=1 (escolher todos os 98 dentre 98 tem exatamente 1 jeito).
  • \displaystyle \binom{99}{98}=99 (por definição \binom{99}{98}=\binom{99}{1}=99).
  • \displaystyle \binom{100}{98}=\binom{100}{2} (pela simetria \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}). Calculando:
\binom{100}{2}=\frac{100\cdot 99}{2}=50\cdot 99=4950.
Somando:
C=1+99+4950=5050.
Comentário extra (útil para prova): existe a identidade de soma conhecida como “hockey-stick” que diz
\sum_{n=r}^{m}\binom{n}{r}=\binom{m+1}{r+1}.
Aplicando com r=98 e m=100 daria \binom{101}{99}=\binom{101}{2}=5050, o que confirma o resultado.

Resposta

\,5050\,

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