Questão 102 (OCM-1984). Considere o desenvolvimento de
como polinômio em potências de
. Encontre neste desenvolvimento o coeficiente de:
.
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e pede: encontrar, no desenvolvimento de
em potências de
, o coeficiente de
.
Informações relevantes que o enunciado fornece (sem resolver ainda):
- A soma é sobre
de até . - Cada termo é
. - Quer-se o coeficiente do monômio
no polinômio resultante.
Passo 2
Vamos lembrar como se expande
: pela fórmula do binômio de Newton,
Explicando essa fórmula com calma:
- O símbolo
(lido “n escolhe k”) é o coeficiente binomial e representa o número de maneiras de escolher itens dentre . Ele é dado por
onde
(fatorial de
) é o produto
.
- Na expansão acima, o termo que multiplica
é exatamente . Portanto, ao expandir , o coeficiente de é , desde que . Se , então não tem termo e contribui com .
Passo 3
Aplicando isso à soma
, o coeficiente desejado (chamemos de
) é a soma, para cada
de
a
, do coeficiente de
em
. Pela observação anterior somente os
com
contribuem. Assim
Passo 4
Agora calculamos explicitamente cada termo da soma:
-
(escolher todos os 98 dentre 98 tem exatamente 1 jeito). -
(por definição ). -
(pela simetria ). Calculando:
Somando:
Comentário extra (útil para prova): existe a identidade de soma conhecida como “hockey-stick” que diz
Aplicando com
e
daria
, o que confirma o resultado.