Questão 103 (PUC-Rio). Se
então
é:
a)
b)
c)
d)
e)
.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado nos dá a expansão do polinômio
(eu estou assumindo que os coeficientes vão até
, já que o expoente máximo é
).
O que é pedido: calcular a soma dos coeficientes de termos de grau par, ou seja
O que é pedido: calcular a soma dos coeficientes de termos de grau par, ou seja
Passo 2
Vou usar a ideia simples de avaliar o polinômio em pontos especiais para obter somas de coeficientes. Defina
Dois fatos básicos (já aprendidos, mas repasso passo a passo):
- Avaliar em
dá a soma de todos os coeficientes:
- Avaliar em
dá a soma alternada dos coeficientes:
Esses dois valores são úteis para isolar a soma dos coeficientes de índices pares.
Passo 3
Separe a soma em pares e ímpares. Defina
Então, usando
e
,
Somando essas duas igualdades obtemos uma expressão direta para a soma dos pares:
Explicando a conta: somando as duas expressões, os termos ímpares se cancelam e sobra
; daí dividir por
.
Passo 4
Calcule
. Substituindo em
:
Isso é fácil: ao pôr
somam-se as três parcelas
.
Passo 5
Calcule
. Substituindo
:
Aqui é importante ver passo a passo:
, então a soma dentro do parêntese é
.
Passo 6
Agora junte tudo usando a fórmula do Passo 3:
Vamos testar mentalmente com
:
tem
e soma
; a fórmula dá
, coerente. Então a conta bate.
Passo 7
Conclusão: a soma dos coeficientes de grau par é
. Isso corresponde à alternativa (c). Força aí na prova — essa técnica de avaliar em
e
é um truque ótimo e super útil para somas de coeficientes!