Questão 103 (PUC-Rio). Se \left(1+x+x^{2}\right)^{n}=A_{0}+A_{1} x+A_{2} x^{2}+A_{3} x^{3}+\ldots+A_{n} x^{n} então A_{0}+A_{2}+A_{4}+\ldots+A_{2 n} é:
a) 2^{n}-1
b) 2^{n-1}
c) \frac{3^{n}+1}{2}
d) \frac{3^{n}}{2}
e) \frac{3^{n}-1}{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá a expansão do polinômio
(1+x+x^{2})^{n}=A_{0}+A_{1}x+A_{2}x^{2}+\dots+A_{2n}x^{2n}
(eu estou assumindo que os coeficientes vão até A_{2n}, já que o expoente máximo é 2n).
O que é pedido: calcular a soma dos coeficientes de termos de grau par, ou seja
A_{0}+A_{2}+A_{4}+\dots+A_{2n}.

Passo 2

Vou usar a ideia simples de avaliar o polinômio em pontos especiais para obter somas de coeficientes. Defina
P(x)=\sum_{k=0}^{2n}A_{k}x^{k}=(1+x+x^{2})^{n}.
Dois fatos básicos (já aprendidos, mas repasso passo a passo):
  • Avaliar em x=1 dá a soma de todos os coeficientes:
P(1)=\sum_{k=0}^{2n}A_{k}.
  • Avaliar em x=-1 dá a soma alternada dos coeficientes:
P(-1)=\sum_{k=0}^{2n}A_{k}(-1)^{k}=A_{0}-A_{1}+A_{2}-A_{3}+\dots.
Esses dois valores são úteis para isolar a soma dos coeficientes de índices pares.

Passo 3

Separe a soma em pares e ímpares. Defina
S_{\text{par}}=A_{0}+A_{2}+A_{4}+\dots+A_{2n}, \qquad S_{\text{ímpar}}=A_{1}+A_{3}+A_{5}+\dots+A_{2n-1}.í
Então, usando P(1) e P(-1),
P(1)=S_{\text{par}}+S_{\text{ímpar}}, \qquad P(-1)=S_{\text{par}}-S_{\text{ímpar}}.íí
Somando essas duas igualdades obtemos uma expressão direta para a soma dos pares:
S_{\text{par}}=\frac{P(1)+P(-1)}{2}.
Explicando a conta: somando as duas expressões, os termos ímpares se cancelam e sobra 2S_{\text{par}}; daí dividir por 2.

Passo 4

Calcule P(1). Substituindo em P(x)=(1+x+x^{2})^{n}:
P(1)=(1+1+1)^{n}=3^{n}.
Isso é fácil: ao pôr x=1 somam-se as três parcelas 1.

Passo 5

Calcule P(-1). Substituindo x=-1:
P(-1)=(1+(-1)+(-1)^{2})^{n}=(1-1+1)^{n}=1^{n}=1.
Aqui é importante ver passo a passo: (-1)^{2}=1, então a soma dentro do parêntese é 1.

Passo 6

Agora junte tudo usando a fórmula do Passo 3:
S_{\text{par}}=\frac{P(1)+P(-1)}{2}=\frac{3^{n}+1}{2}.
Vamos testar mentalmente com n=1: (1+x+x^{2}) tem A_{0}=1,A_{2}=1 e soma 2; a fórmula dá \dfrac{3^{1}+1}{2}=2, coerente. Então a conta bate.

Passo 7

Conclusão: a soma dos coeficientes de grau par é \dfrac{3^{n}+1}{2}. Isso corresponde à alternativa (c). Força aí na prova — essa técnica de avaliar em 1 e -1 é um truque ótimo e super útil para somas de coeficientes!

Resposta

\dfrac{3^{n}+1}{2}

Exercícios relacionados