Questão 107. Resolva os problemas abaixo:
a) Mostre que a sequência \left(a_{n}\right)=(4,6,10,16,24,34, \ldots) é uma P.A de segunda ordem.
b) Encontre o 42^{\circ} termo da sequência anterior.
c) Qual a ordem da P.A \left(3,7,13,23,39,63, \ldots, a_{19}, a_{20}\right) ? e encontre o 20^{\circ} termo da sequência.
Passo 1
O enunciado nos dá duas sequências e pede coisas diferentes para cada uma.
(c) Determinar a ordem da P.A. e encontrar o 20^{\circ} termo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Termos iniciais da primeira sequência: a_1=4,\;a_2=6,\;a_3=10,\;a_4=16,\;a_5=24,\;a_6=34.
Termos iniciais da segunda sequência: b_1=3,\;b_2=7,\;b_3=13,\;b_4=23,\;b_5=39,\;b_6=63.
As perguntas exigem reconhecer ordens de progressões por meio das diferenças entre termos e calcular termos mais distantes.
Passo 2
O que significa “P.A. de segunda ordem” e como testar:
Vamos explicar com calma. Para uma sequência, define-se a primeira diferença como a sequência dos incrementos entre termos consecutivos:\Delta a_n = a_{n+1}-a_n.A segunda diferença é a diferença das primeiras diferenças:\Delta^2 a_n = \Delta(\Delta a_n)=\Delta a_{n+1}-\Delta a_n.
Uma sequência é chamada de “P.A. de segunda ordem” quando as segundas diferenças são constantes (isto é, independem de n). Outra forma de dizer: os incrementos formam uma P.A. (aritmética) — logo a sequência original é gerada por um polinômio de grau 2 (quadrático).
Método prático: calcular primeiras e segundas diferenças e verificar se a segunda diferença é constante.
Passo 3
Aplicando o teste à sequência \left(a_{n}\right)=(4,6,10,16,24,34,\ldots).
As segundas diferenças são todas iguais a \,2, ou seja, constantes. Portanto concluímos que a sequência é uma P.A. de segunda ordem.
Passo 4
Encontrando a fórmula geral da sequência de segunda ordem (padrão didático).
Como vimos, segundas diferenças constantes indicam que a sequência a_n\) é dada por um polinômio quadrático em \(n\):
\[a_n = \alpha n^2 + \beta n + \gamma,onde \alpha,\beta,\gamma são constantes reais a determinar. Explicando: o termo \alpha n^2 controla a curvatura (segunda diferença), \beta n adiciona uma parte linear e \gamma é o termo inicial (ajuste vertical).
Subtraindo a primeira equação da segunda obtemos 3\alpha+\beta=2\]. Subtraindo a segunda da terceira obtemos \(5\alpha+\beta=4.Subtraindo essas duas últimas: 2\alpha=2\Rightarrow \alpha=1.
Então \beta=2-3\alpha=2-3=-1.
E \gamma=4-\alpha-\beta=4-1-(-1)=4.
Logo a fórmula geral éa_n = n^2 - n + 4.]
Passo 5
Usando a fórmula para achar o 42^{\circ} termo (parte b).
Calcular passo a passo:42^2 = 1764,\qquad 1764-42=1722,\qquad 1722+4=1726.
Logo \,a_{42}=1726.
Passo 6
Analisando a segunda sequência e definindo “ordem” (parte c).
Relembrando: a ordem de uma P.A. aqui significa o menor k tal que as k-ésimas diferenças são constantes. Se as terceiras diferenças são constantes e as menores (primeiras ou segundas) não são, então a sequência é P.A. de terceira ordem (polinomial de grau 3).
Vamos calcular diferenças da sequência b_n=(3,7,13,23,39,63,\ldots).
As terceiras diferenças são constantes iguais a 2. Portanto a sequência é P.A. de terceira ordem (polinômio de grau 3).
Passo 7
Como calcular o 20^{\circ} termo de uma P.A. de terceira ordem de maneira prática (método das diferenças finitas / fórmula de Newton).
Método (explicado): se conhecemosb_1,\quad \Delta b_1,\quad \Delta^2 b_1,\quad \Delta^3 b_1e \Delta^3 b_n é constante, então o termo geral é dado pela fórmula (fórmula de Newton para diferenças finitas à frente, aplicada com início em n=1):b_n = b_1 + (n-1)\Delta b_1 + \frac{(n-1)(n-2)}{2}\,\Delta^2 b_1 + \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6}\,\Delta^3 b_1.Aqui:
b_1 é o primeiro termo da sequência.
\Delta b_1 é a primeira diferença entre b_2 e b_1.
\Delta^2 b_1 é a segunda diferença inicial.
\Delta^3 b_1 é a terceira diferença (aqui constante).
Os coeficientes fatoriais vêm da relação entre diferenças e termos do polinômio discreto (é análogo à série de Taylor discreta).
Para a nossa sequência temos do Passo 6:b_1=3,\quad \Delta b_1=4,\quad \Delta^2 b_1=2,\quad \Delta^3 b_1=2.