Questão 107. Resolva os problemas abaixo:
a) Mostre que a sequência \left(a_{n}\right)=(4,6,10,16,24,34, \ldots) é uma P.A de segunda ordem.
b) Encontre o 42^{\circ} termo da sequência anterior.
c) Qual a ordem da P.A \left(3,7,13,23,39,63, \ldots, a_{19}, a_{20}\right) ? e encontre o 20^{\circ} termo da sequência.

Passo 1

O enunciado nos dá duas sequências e pede coisas diferentes para cada uma.
Dados e perguntas:
  • Sequência 1: \left(a_{n}\right)=(4,6,10,16,24,34,\ldots).
    • (a) Mostrar que essa sequência é uma P.A. de segunda ordem.
    • (b) Encontrar o 42^{\circ} termo dessa sequência.
  • Sequência 2: \left(3,7,13,23,39,63,\ldots,a_{19},a_{20}\right).
    • (c) Determinar a ordem da P.A. e encontrar o 20^{\circ} termo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Termos iniciais da primeira sequência: a_1=4,\;a_2=6,\;a_3=10,\;a_4=16,\;a_5=24,\;a_6=34.
  • Termos iniciais da segunda sequência: b_1=3,\;b_2=7,\;b_3=13,\;b_4=23,\;b_5=39,\;b_6=63.
  • As perguntas exigem reconhecer ordens de progressões por meio das diferenças entre termos e calcular termos mais distantes.

Passo 2

O que significa “P.A. de segunda ordem” e como testar:
  • Vamos explicar com calma. Para uma sequência, define-se a primeira diferença como a sequência dos incrementos entre termos consecutivos: \Delta a_n = a_{n+1}-a_n.A segunda diferença é a diferença das primeiras diferenças: \Delta^2 a_n = \Delta(\Delta a_n)=\Delta a_{n+1}-\Delta a_n.
  • Uma sequência é chamada de “P.A. de segunda ordem” quando as segundas diferenças são constantes (isto é, independem de n). Outra forma de dizer: os incrementos formam uma P.A. (aritmética) — logo a sequência original é gerada por um polinômio de grau 2 (quadrático).
  • Método prático: calcular primeiras e segundas diferenças e verificar se a segunda diferença é constante.

Passo 3

Aplicando o teste à sequência \left(a_{n}\right)=(4,6,10,16,24,34,\ldots).
Calcular primeiras diferenças:
\begin{aligned} \Delta a_1 &= a_2-a_1 = 6-4=2,\\\ \Delta a_2 &= a_3-a_2 = 10-6=4,\\\ \Delta a_3 &= a_4-a_3 = 16-10=6,\\\ \Delta a_4 &= a_5-a_4 = 24-16=8,\\\ \Delta a_5 &= a_6-a_5 = 34-24=10. \end{aligned}
As primeiras diferenças são \,2,4,6,8,10,\ldots.
Calcular as segundas diferenças:
\begin{aligned} \Delta^2 a_1 &= \Delta a_2-\Delta a_1 = 4-2=2,\\\ \Delta^2 a_2 &= \Delta a_3-\Delta a_2 = 6-4=2,\\\ \Delta^2 a_3 &= \Delta a_4-\Delta a_3 = 8-6=2,\\\ \Delta^2 a_4 &= \Delta a_5-\Delta a_4 = 10-8=2. \end{aligned}
As segundas diferenças são todas iguais a \,2, ou seja, constantes. Portanto concluímos que a sequência é uma P.A. de segunda ordem.

Passo 4

Encontrando a fórmula geral da sequência de segunda ordem (padrão didático).
  • Como vimos, segundas diferenças constantes indicam que a sequência a_n\) é dada por um polinômio quadrático em \(n\): \[a_n = \alpha n^2 + \beta n + \gamma,onde \alpha,\beta,\gamma são constantes reais a determinar. Explicando: o termo \alpha n^2 controla a curvatura (segunda diferença), \beta n adiciona uma parte linear e \gamma é o termo inicial (ajuste vertical).
  • Usamos três termos conhecidos para achar \alpha,\beta,\gamma. Substituindo n=1,2,3: \begin{cases} \alpha(1)^2+\beta(1)+\gamma = a_1 = 4,\\[4pt] \alpha(2)^2+\beta(2)+\gamma = a_2 = 6,\\[4pt] \alpha(3)^2+\beta(3)+\gamma = a_3 = 10. \end{cases}Ou seja, \begin{cases} \alpha+\beta+\gamma=4,\\[4pt] 4\alpha+2\beta+\gamma=6,\\[4pt] 9\alpha+3\beta+\gamma=10. \end{cases}
  • Subtraindo a primeira equação da segunda obtemos 3\alpha+\beta=2\]. Subtraindo a segunda da terceira obtemos \(5\alpha+\beta=4.Subtraindo essas duas últimas: 2\alpha=2\Rightarrow \alpha=1.
    Então \beta=2-3\alpha=2-3=-1.
    E \gamma=4-\alpha-\beta=4-1-(-1)=4.
  • Logo a fórmula geral é a_n = n^2 - n + 4.]

Passo 5

Usando a fórmula para achar o 42^{\circ} termo (parte b).
  • Substituir n=42 na expressão encontrada: a_{42} = 42^2 - 42 + 4.
  • Calcular passo a passo: 42^2 = 1764,\qquad 1764-42=1722,\qquad 1722+4=1726.
  • Logo \,a_{42}=1726.

Passo 6

Analisando a segunda sequência e definindo “ordem” (parte c).
  • Relembrando: a ordem de uma P.A. aqui significa o menor k tal que as k-ésimas diferenças são constantes. Se as terceiras diferenças são constantes e as menores (primeiras ou segundas) não são, então a sequência é P.A. de terceira ordem (polinomial de grau 3).
  • Vamos calcular diferenças da sequência b_n=(3,7,13,23,39,63,\ldots).
Primeiras diferenças:
\Delta b_1=7-3=4,\quad \Delta b_2=13-7=6,\quad \Delta b_3=23-13=10,\quad \Delta b_4=39-23=16,\quad \Delta b_5=63-39=24.
Assim \Delta b_n = 4,6,10,16,24,\ldots — que é exatamente a sequência do Passo 3 (a sequência cuja segunda diferença era constante).
Segundas diferenças:
\Delta^2 b_1 = 6-4=2,\quad \Delta^2 b_2 = 10-6=4,\quad \Delta^2 b_3 = 16-10=6,\quad \Delta^2 b_4 = 24-16=8.
As segundas diferenças não são constantes (são 2,4,6,8,\ldots).
Terceiras diferenças:
\Delta^3 b_1 = 4-2=2,\quad \Delta^3 b_2 = 6-4=2,\quad \Delta^3 b_3 = 8-6=2.
As terceiras diferenças são constantes iguais a 2. Portanto a sequência é P.A. de terceira ordem (polinômio de grau 3).

Passo 7

Como calcular o 20^{\circ} termo de uma P.A. de terceira ordem de maneira prática (método das diferenças finitas / fórmula de Newton).
  • Método (explicado): se conhecemos b_1,\quad \Delta b_1,\quad \Delta^2 b_1,\quad \Delta^3 b_1e \Delta^3 b_n é constante, então o termo geral é dado pela fórmula (fórmula de Newton para diferenças finitas à frente, aplicada com início em n=1): b_n = b_1 + (n-1)\Delta b_1 + \frac{(n-1)(n-2)}{2}\,\Delta^2 b_1 + \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6}\,\Delta^3 b_1.Aqui:
    • b_1 é o primeiro termo da sequência.
    • \Delta b_1 é a primeira diferença entre b_2 e b_1.
    • \Delta^2 b_1 é a segunda diferença inicial.
    • \Delta^3 b_1 é a terceira diferença (aqui constante).
    • Os coeficientes fatoriais vêm da relação entre diferenças e termos do polinômio discreto (é análogo à série de Taylor discreta).
  • Para a nossa sequência temos do Passo 6: b_1=3,\quad \Delta b_1=4,\quad \Delta^2 b_1=2,\quad \Delta^3 b_1=2.
  • Substituindo na fórmula com n=20: b_{20}=3+ (20-1)\cdot 4 + \frac{(20-1)(20-2)}{2}\cdot 2 + \frac{(20-1)(20-2)(20-3)}{6}\cdot 2.Calcular passo a passo: 20-1=19,\quad 20-2=18,\quad 20-3=17.Então \begin{aligned} & (20-1)\cdot 4 = 19\cdot 4 = 76,\\[4pt] & \frac{(19)(18)}{2}\cdot 2 = (19)(18)=342,\\[4pt] & \frac{(19)(18)(17)}{6}\cdot 2 = \frac{2}{6}\cdot(19\cdot18\cdot17) = \frac{1}{3}\cdot(19\cdot18\cdot17). \end{aligned}Calcular 19\cdot18\cdot17: 18\cdot17=306, 306\cdot19=306\cdot20-306=6120-306=5814. Dividindo por 3 obtém-se 5814/3=1938.
  • Somando tudo: b_{20} = 3 + 76 + 342 + 1938 = 2359.
  • Portanto o 20^{\circ} termo vale \,2359.]

Resposta

(a) É P.A. de segunda ordem.
(b) a_{42}=1726
(c) ordem 3; a_{20}=2359

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