Questão 108. Determine o termo geral \left(a_{n}\right) em função de n e a ordem de cada uma P.A de cada uma das sequências abaixo:
\left(1,5,13,25,41, \ldots, a_{n}\right)

Passo 1

O enunciado dá a sequência \left(1,5,13,25,41,\ldots,a_{n}\right). Vou anotar os primeiros termos com seus índices para ficar claro o que temos:
  • \;a_{1}=1
  • \;a_{2}=5
  • \;a_{3}=13
  • \;a_{4}=25
  • \;a_{5}=41
O que o problema pede:
  • Determinar o termo geral \,a_{n}\, em função de n.
  • Determinar a ordem da P.A. (isto é, a menor ordem k tal que a k-ésima diferença é constante).

Passo 2

Calculo as primeiras diferenças entre termos consecutivos (isso ajuda a ver o padrão):
\begin{aligned} \Delta a_{1} &= a_{2}-a_{1}=5-1=4,\\[4pt] \Delta a_{2} &= a_{3}-a_{2}=13-5=8,\\[4pt] \Delta a_{3} &= a_{4}-a_{3}=25-13=12,\\[4pt] \Delta a_{4} &= a_{5}-a_{4}=41-25=16. \end{aligned}
Portanto as primeiras diferenças são \;4,8,12,16,\ldots.]

Passo 3

Calculo as segundas diferenças (diferenças das primeiras diferenças):
\begin{aligned} \Delta^{2} a_{1} &= \Delta a_{2}-\Delta a_{1}=8-4=4,\\[4pt] \Delta^{2} a_{2} &= \Delta a_{3}-\Delta a_{2}=12-8=4,\\[4pt] \Delta^{2} a_{3} &= \Delta a_{4}-\Delta a_{3}=16-12=4. \end{aligned}
As segundas diferenças são constantes e iguais a \;4.
Explicação curta e útil: se a sequência tem segundas diferenças constantes (e as primeiras diferenças não são constantes), então a sequência é uma P.A. de ordem 2. Assim a ordem aqui é 2.]

Passo 4

Teoria aplicada para achar o termo geral: uma P.A. de ordem 2 tem termo geral dado por um polinômio quadrático em n:
a_{n}=A n^{2}+B n + C,
onde A,B,C são constantes a determinar. Aqui A,B,C são coeficientes que garantem que a_{1},a_{2},a_{3} batem com os valores dados.
Vou usar os três primeiros termos para montar um sistema linear em A,B,C.

Passo 5

Escrever as equações para n=1,2,3:
\begin{cases} A\cdot 1^{2}+B\cdot 1 + C = a_{1}=1,\\[4pt] A\cdot 2^{2}+B\cdot 2 + C = a_{2}=5,\\[4pt] A\cdot 3^{2}+B\cdot 3 + C = a_{3}=13. \end{cases}
Isto é
\begin{cases} A + B + C = 1,\\[4pt] 4A + 2B + C = 5,\\[4pt] 9A + 3B + C = 13. \end{cases}]

Passo 6

Resolvo o sistema passo a passo (vou subtrair equações para eliminar C):
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(4A+2B+C)-(A+B+C)=3A+B=4. \tag{1}
Subtraindo a segunda da terceira:
(9A+3B+C)-(4A+2B+C)=5A+B=8. \tag{2}
Subtraindo (1) de (2):
(5A+B)-(3A+B)=2A=4 \quad\Rightarrow\quad A=2.
Substituindo A=2 em (1):
3\cdot 2 + B =4 \quad\Rightarrow\quad 6+B=4 \quad\Rightarrow\quad B=-2.
Agora uso A e B na primeira equação para achar C:
A+B+C=1 \quad\Rightarrow\quad 2+(-2)+C=1 \quad\Rightarrow\quad C=1.

Passo 7

Portanto os coeficientes são A=2,\;B=-2,\;C=1. O termo geral é
\boxed{\,a_{n}=2n^{2}-2n+1\,.}
Verificação rápida (sempre bom checar): para n=4 temos a_{4}=2\cdot 4^{2}-2\cdot 4+1=32-8+1=25, e para n=5 a_{5}=50-10+1=41. Bate com os termos dados.
Observação útil para prova: para um polinômio quadrático An^{2}+Bn+C a segunda diferença é constante e igual a 2A. Aqui \Delta^{2}a=4, logo 2A=4\Rightarrow A=2 — atalho rápido.

Passo 8

Resumo final (motivação e encorajamento): encontramos um polinômio quadrático que gera a sequência e identificamos que as segundas diferenças constantes implicam ordem 2. Boa! Com esse método você resolve rápido outras sequências com diferenças constantes.

Resposta

a_{n}=2n^{2}-2n+1
Ordem da P.A.: 2

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