Questão 109. Deduza uma fórmula para cada uma das expressões abaixo e calcule o valor da soma dos 50 primeiros termos.
S=1^{3}+5^{3}+9^{3}+\ldots+\ldots+(4 n+1)^{3}.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado nos dá a soma
S = 1^{3}+5^{3}+9^{3}+\ldots+(4n+1)^{3}.
  • Os termos têm a forma (4k+1)^{3} para k=0,1,2,\dots,n. Portanto o somatório tem n+1 termos.
  • O enunciado pede duas coisas:
    1. Deduzir uma fórmula para S em função de n.
    2. Calcular o valor da soma dos 50 primeiros termos.
Observação importante: os “50 primeiros termos” correspondem a k=0,1,\dots,49, ou seja, ao caso n=49.

Passo 2

Primeiro passo prático: expandir o termo genérico (4k+1)^{3} usando a fórmula do cubo da soma.
Lembrete da fórmula do cubo da soma: para quaisquer a e b vale
(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}.
Aplicando com a=4k e b=1 obtemos
(4k+1)^{3}=(4k)^{3}+3(4k)^{2}\cdot1+3(4k)\cdot1^{2}+1^{3}.
Calculando cada termo:
(4k)^{3}=64k^{3},\qquad 3(4k)^{2}=3\cdot16k^{2}=48k^{2},\qquad 3(4k)=12k,\qquad 1^{3}=1.
Logo
(4k+1)^{3}=64k^{3}+48k^{2}+12k+1.

Passo 3

Agora vamos somar essa expressão sobre k de 0 até n. Assim
S=\sum_{k=0}^{n}(4k+1)^{3}=\sum_{k=0}^{n}\big(64k^{3}+48k^{2}+12k+1\big).
Usamos linearidade da soma para separar:
S=64\sum_{k=0}^{n}k^{3}+48\sum_{k=0}^{n}k^{2}+12\sum_{k=0}^{n}k+\sum_{k=0}^{n}1.
Agora preciso das fórmulas conhecidas para somas de potências (essas são ferramentas padrão; explico rapidamente o que cada uma significa):
  • Soma dos inteiros de 0 a n:
\sum_{k=0}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}.
Intuição rápida: pares 0+n,1+(n-1),\dots dão n+1 termos com soma n em média; o resultado formal é essa fórmula.
  • Soma dos quadrados:
\sum_{k=0}^{n}k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Essa fórmula pode ser demonstrada por indução ou usando manipulações algébricas; é uma fórmula padrão que convém memorizar.
  • Soma dos cubos:
\sum_{k=0}^{n}k^{3}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}.
Isso diz que a soma dos primeiros n cubos é o quadrado da soma dos primeiros n inteiros. Também é uma identidade clássica (pode ser provada por indução).
  • Soma da constante 1 por n+1 vezes:
\sum_{k=0}^{n}1=n+1.

Passo 4

Substituo essas fórmulas na expressão de S. Primeiro escrevo cada soma multiplicada pelos coeficientes:
S=64\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}+48\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+12\cdot\frac{n(n+1)}{2}+(n+1).
Agora simplifico cada termo passo a passo.
  1. Primeiro termo:
64\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}=64\cdot\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}=16\,n^{2}(n+1)^{2}.
  1. Segundo termo:
48\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=8\,n(n+1)(2n+1).
  1. Terceiro termo:
12\cdot\frac{n(n+1)}{2}=6\,n(n+1).
  1. Quarto termo:
(n+1).
Somando tudo:
S=16\,n^{2}(n+1)^{2}+8\,n(n+1)(2n+1)+6\,n(n+1)+(n+1).
É conveniente fatorar um (n+1):
S=(n+1)\big(16\,n^{2}(n+1)+8\,n(2n+1)+6n+1\big).
Simplificando o que está dentro:
16\,n^{2}(n+1)=16n^{3}+16n^{2},
8\,n(2n+1)=16n^{2}+8n.
Somando as parcelas internas temos
16n^{3}+(16n^{2}+16n^{2})+(8n+6n)+1=16n^{3}+32n^{2}+14n+1.
Portanto uma forma factorizada e elegante é
\boxed{\,S=(n+1)\big(16n^{3}+32n^{2}+14n+1\big)\, }.
Se preferir a forma expandida:
\boxed{\,S=16n^{4}+48n^{3}+46n^{2}+15n+1\, }.
Ambas são equivalentes; a primeira costuma ser mais compacta.

Passo 5

Agora calculo a soma dos 50 primeiros termos. Como o somatório acima tem índices k=0 até n, os 50 primeiros termos correspondem a n=49 (pois 49+1=50 termos). Substituo n=49 na forma fatorada:
S_{49}=(49+1)\big(16\cdot49^{3}+32\cdot49^{2}+14\cdot49+1\big).
Calculo passo a passo.
  • 49^{2}=2401.
  • 49^{3}=49\cdot2401=117649.
Agora os termos internos:
16\cdot49^{3}=16\cdot117649=1\,882\,384,
32\cdot49^{2}=32\cdot2401=76\,832,
14\cdot49=686,
+1.
Somando:
16\cdot49^{3}+32\cdot49^{2}+14\cdot49+1=1\,882\,384+76\,832+686+1=1\,959\,903.
Multiplico por 49+1=50:
S_{49}=50\cdot1\,959\,903=97\,995\,150.

Resposta

S=(n+1)\big(16n^{3}+32n^{2}+14n+1\big)
S_{50\\ \text{termos}}=97\,995\,150

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