Questão 109. Deduza uma fórmula para cada uma das expressões abaixo e calcule o valor da soma dos 50 primeiros termos.
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Deduzir uma fórmula fechada para
. - Calcular o valor dessa soma para
(ou seja, os 50 primeiros termos).
Não há outros dados numéricos além de
.
Passo 2
Vamos lembrar duas somas simples que usaremos (e mostrar por que valem):
- Soma de
repetida vezes:
Isto é óbvio: somar
vezes dá
.
- Soma dos primeiros
inteiros (fórmula de Gauss):
Prova rápida (pareamento): escreva a soma na ordem direta e na ordem reversa e some termo a termo:
Cada coluna soma
e há
colunas; dividindo por
obtemos a fórmula acima.
Essas duas fórmulas serão úteis para eliminar termos ao resolver a soma dos quadrados.
Passo 3
Vamos usar uma identidade algébrica que gera
quando fazemos uma diferença telescópica. Calcule:
Isto vem de expandir
e subtrair
.
Agora some essa identidade para
até
:
Passo 4
A soma do lado esquerdo é telescópica:
O lado direito separa-se em três somas conhecidas:
Usando as fórmulas do Passo 2 isto vira:
Portanto, igualando os dois lados:
Passo 5
Isolando
(denotando-a por
) obtemos:
Faço a simplificação passo a passo. Primeiro expando
:
Então
Agrupando
:
Colocando tudo sobre denominador
:
Factorizando o numerador:
Logo
Finalmente dividindo por
:
Prontinho — essa é a fórmula fechada pedida. Guarde-a; é muito usada em provas 😃
Passo 6
Agora calculamos a soma dos
primeiros termos, isto é, substituímos
:
Simplifico:
e como
fica
Calculo final:
Passo 7
Cheque rápido de sanidade: para
a fórmula dá
e
. Perfeito — fórmula consistente.