Questão 11
Ainda não respondida
Vale 1,00 ponto(s).
Um gás ideal sofre uma expansão isotérmica reversível à temperatura constante de \mathrm{T}=400 \mathrm{~K}, passando de um volume inicial de 2,0 \mathrm{~L} para um volume final de 8,0 \mathrm{~L}. Considere que o sistema contém 1,0 \mathrm{~mol} de gás ideal. O valor numérico da variação de entropia (use R=8,31 J/mol.K), em J/mol, é aproximadamente:
Dê a resposta com uma casa decimal.

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que ele pede:
  • Temperatura constante: T=400\\ \mathrm{K}.
  • Processo: expansão isotérmica reversível.
  • Volume inicial: V_i=2{,}0\\ \mathrm{L}.
  • Volume final: V_f=8{,}0\\ \mathrm{L}.
  • Quantidade de gás: n=1{,}0\\ \mathrm{mol}.
  • Constante dos gases: R=8{,}31\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} (valor a usar).
  • O enunciado pede: o valor numérico da variação de entropia do sistema, em unidades pedidas (pedem em J/mol), com uma casa decimal.

Passo 2

Fórmula fundamental e justificativa (aula rápida):
  • A variação de entropia para um processo reversível é definida por
\Delta S=\int \frac{\delta Q_{\mathrm{rev}}}{T}.
  • Em um processo isotérmico reversível para um gás ideal, a temperatura T é constante, então podemos tirar T fora da integral:
\Delta S=\frac{1}{T}\int \delta Q_{\mathrm{rev}}=\frac{q_{\mathrm{rev}}}{T}.
  • Além disso, para uma expansão isotérmica reversível de um gás ideal, o calor trocado reversivelmente é igual ao trabalho (em módulo) e pode ser calculado por
q_{\mathrm{rev}}=w_{\mathrm{rev}}=\int_{V_i}^{V_f} P\,dV.
  • Usando a equação do gás ideal P=\dfrac{nRT}{V} dentro da integral do trabalho:
q_{\mathrm{rev}}=\int_{V_i}^{V_f}\frac{nRT}{V}\,dV=nRT\int_{V_i}^{V_f}\frac{dV}{V}=nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
  • Substituindo em \Delta S=\dfrac{q_{\mathrm{rev}}}{T} obtemos a fórmula prática que usaremos:
\Delta S=nR\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
Aqui: n é o número de mols, R a constante dos gases, V_i e V_f os volumes inicial e final, e \ln é o logaritmo natural.

Passo 3

Aplicando a fórmula com os números do enunciado:
  • Primeiro calcule a razão de volumes:
\frac{V_f}{V_i}=\frac{8{,}0}{2{,}0}=4.
  • Sabendo que \ln(4)=\ln(2^2)=2\ln(2) e \ln(2)\approx0{,}693147, temos
\ln(4)\approx 2\times 0{,}693147=1{,}386294.
  • Agora calcule
\Delta S=nR\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right)=1{,}0\times 8{,}31\times 1{,}386294.
  • Vou multiplicar em duas etapas para ficar claro:
8{,}31\times 1{,}386294 = 8{,}31\times(1 + 0{,}386294)=8{,}31 + 8{,}31\times 0{,}386294.
8{,}31\times 0{,}386294 \approx 3{,}210106,
portanto
8{,}31\times 1{,}386294 \approx 8{,}31 + 3{,}210106 = 11{,}520106.

Passo 4

Arredondamento e unidades:
  • O valor calculado é \Delta S\approx 11{,}520106.
  • Pediram a resposta com uma casa decimal, então arredondando:
\Delta S \approx 11{,}5.
  • Unidades corretas de variação de entropia molar são \mathrm{J/(mol\cdot K)}. Como o sistema tinha 1{,}0\\ \mathrm{mol}, esse valor numérico também corresponde à variação total (em \mathrm{J/K}) para esse 1 mol; apresento como variação molar, que é o uso mais comum.

Passo 5

Checagem rápida e incentivo:
  • Verificação rápida: aumento de volume por fator 4 numa expansão isotérmica dá um aumento positivo de entropia, e número obtido está na ordem de 10\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}, que é razoável.
  • Bom trabalho por chegar até aqui — está ficando mais tranquilo, respira, repete esse tipo de resolução para outros problemas isotérmicos e fica esperto com onde aparece \ln(V_f/V_i)!

Resposta

11{,}5\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}

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