Questão 11. Considere a matriz A=\left[\begin{array}{cc}-1 & a \\\ b & 4\end{array}\right]. Obter a e b tal que A^{2}=\left[\begin{array}{cc}11 & 6 \\\\ 15 & 26\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A=\begin{pmatrix}-1 & a \\[4pt] b & 4\end{pmatrix}
com a e b desconhecidos, e pede para encontrar a e b tais que
A^{2}=\begin{pmatrix}11 & 6 \\[4pt] 15 & 26\end{pmatrix}.
Informações relevantes que temos:
  • A entrada (1,1) de A^{2} deve ser 11.
  • A entrada (1,2) de A^{2} deve ser 6.
  • A entrada (2,1) de A^{2} deve ser 15.
  • A entrada (2,2) de A^{2} deve ser 26.]

Passo 2

Relembrando como calcular o produto de matrizes 2×2 de forma didática: se
A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\[4pt] a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12} \\[4pt] b_{21} & b_{22}\end{pmatrix},
então o produto C=AB tem entradas dadas por
c_{ij}=\sum_{k=1}^{2} a_{ik}b_{kj}.
Ou, de forma explícita para 2×2:
C=\begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} \\[4pt] a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{pmatrix}.
Aplicando isso a A^2=A\cdot A dá as fórmulas para cada entrada de A^2.]

Passo 3

Vamos calcular cada entrada de A^{2}=A\cdot A usando A=\begin{pmatrix}-1 & a \\[4pt] b & 4\end{pmatrix}.
  • Entrada (1,1):
(-1)\cdot(-1)+a\cdot b = 1 + ab.
  • Entrada (1,2):
(-1)\cdot a + a\cdot 4 = -a + 4a = 3a.
  • Entrada (2,1):
b\cdot(-1) + 4\cdot b = -b + 4b = 3b.
  • Entrada (2,2):
b\cdot a + 4\cdot 4 = ab + 16.
Portanto
A^{2}=\begin{pmatrix}1+ab & 3a \\[4pt] 3b & ab+16\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora igualamos essa expressão ao lado direito pedido:
\begin{pmatrix}1+ab & 3a \\[4pt] 3b & ab+16\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}11 & 6 \\[4pt] 15 & 26\end{pmatrix}.
Isso gera o sistema de equações (uma por entrada correspondente):
\begin{cases} 1 + ab = 11,\\[4pt] 3a = 6,\\[4pt] 3b = 15,\\[4pt] ab + 16 = 26. \end{cases}]

Passo 5

Resolvendo o sistema passo a passo (mostrando os cálculos):
  • Da segunda equação 3a=6 segue que
a=\dfrac{6}{3}=2.
  • Da terceira equação 3b=15 segue que
b=\dfrac{15}{3}=5.
  • Verificação com a primeira e quarta equações:
1+ab = 1 + (2)(5) = 1+10 = 11,
ab+16 = (2)(5) + 16 = 10 + 16 = 26.
As duas verificações conferem com as entradas desejadas, logo os valores encontrados são consistentes.

Resposta

a=2
b=5

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