Sejam
e
matrizes quadradas de mesma ordem. Verifique quais das afirmações a seguir são verdadeiras. Para as afirmações falsas, dê um exemplo que contraria a afirmação:
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a igualdade
vale para matrizes quadradas
de mesma ordem. Ou seja:
- Pergunta: a afirmação
é verdadeira para quaisquer matrizes quadradas da mesma ordem? - O que se dá: três matrizes quadradas
quaisquer; não foi imposta nenhuma hipótese extra (como invertibilidade ou comutatividade).
Passo 2
Vamos manipular a igualdade para entender o que ela exige. Subtraindo os dois membros, obtemos
Fatorando à esquerda (lembrando que a multiplicação de matrizes é associativa), obtemos
Essa forma é útil: a igualdade pede que a matriz
(o comutador de
e
) anule
pela multiplicação à direita.
Explicação didática do que isso significa:
- A matriz
mede o quanto e não comutam; se então e dizemos que e comutam. - A igualdade
pode ocorrer por duas razões principais: ou (então e comutam) ou é tal que a multiplicação à direita anula (por exemplo, pode ser a matriz zero). - Em particular, se
for invertível (ou seja, existir ), podemos multiplicar à direita por e obter portanto . Assim, com invertível a igualdade exige que e comutem.
Passo 3
Agora vamos mostrar que a afirmação não é verdadeira em geral, dando um contraexemplo concreto. Uma maneira simples é escolher
igual à matriz identidade
. Nesse caso a igualdade fica
então basta escolher
e
que não comutem.
Escolho matrizes
:
Calcule
passo a passo:
Calcule
passo a passo:
Observa-se que
Portanto, com
,
ou seja,
. Isto é um contraexemplo que mostra que a afirmação não é verdadeira em geral.]
Passo 4
Resumo didático e dicas para a prova:
- A igualdade
não é uma identidade geral para matrizes; multiplicação de matrizes não é comutativa em geral. - Condições que garantem
: - Se
(ou seja, e comutam), então para qualquer vale . - Se
for a matriz zero, então . - Se
for invertível, então implica necessariamente (porque pode-se multiplicar por à direita).
- Se
- Estratégia prática: para refutar uma afirmação do tipo “vale para todas as matrizes”, tente escolher
e então procurar que não comutam — isso costuma ser o contraexemplo mais simples.
Resposta
Falsa.