Sejam A, B e C matrizes quadradas de mesma ordem. Verifique quais das afirmações a seguir são verdadeiras. Para as afirmações falsas, dê um exemplo que contraria a afirmação:
A B C=B A C;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a igualdade
ABC = BAC
vale para matrizes quadradas A,B,C de mesma ordem. Ou seja:
  • Pergunta: a afirmação ABC = BAC é verdadeira para quaisquer matrizes quadradas A,B,C da mesma ordem?
  • O que se dá: três matrizes quadradas A,B,C quaisquer; não foi imposta nenhuma hipótese extra (como invertibilidade ou comutatividade).

Passo 2

Vamos manipular a igualdade para entender o que ela exige. Subtraindo os dois membros, obtemos
ABC - BAC = 0.
Fatorando à esquerda (lembrando que a multiplicação de matrizes é associativa), obtemos
(AB - BA)C = 0.
Essa forma é útil: a igualdade pede que a matriz AB-BA (o comutador de A e B) anule C pela multiplicação à direita.
Explicação didática do que isso significa:
  • A matriz AB-BA mede o quanto A e B não comutam; se AB-BA=0 então AB=BA e dizemos que A e B comutam.
  • A igualdade (AB-BA)C=0 pode ocorrer por duas razões principais: ou AB-BA=0 (então A e B comutam) ou C é tal que a multiplicação à direita anula AB-BA (por exemplo, C pode ser a matriz zero).
  • Em particular, se C for invertível (ou seja, existir C^{-1}), podemos multiplicar à direita por C^{-1} e obter AB-BA = 0,portanto AB=BA. Assim, com C invertível a igualdade ABC=BAC exige que A e B comutem.

Passo 3

Agora vamos mostrar que a afirmação não é verdadeira em geral, dando um contraexemplo concreto. Uma maneira simples é escolher C igual à matriz identidade I. Nesse caso a igualdade fica
ABI = BAI \quad\Longleftrightarrow\quad AB = BA,
então basta escolher A e B que não comutem.
Escolho matrizes 2\times2:
A = \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}, \qquad C = I = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Calcule AB passo a passo:
AB = \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot0 + 1\cdot1 & 0\cdot0 + 1\cdot0\\[4pt] 0\cdot0 + 0\cdot1 & 0\cdot0 + 0\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Calcule BA passo a passo:
BA = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot0 + 0\cdot0 & 0\cdot1 + 0\cdot0\\[4pt] 1\cdot0 + 0\cdot0 & 1\cdot1 + 0\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Observa-se que
AB = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} = BA.
Portanto, com C=I,
ABC = AB \neq BA = BAC,
ou seja, ABC \neq BAC. Isto é um contraexemplo que mostra que a afirmação não é verdadeira em geral.]

Passo 4

Resumo didático e dicas para a prova:
  • A igualdade ABC = BAC não é uma identidade geral para matrizes; multiplicação de matrizes não é comutativa em geral.
  • Condições que garantem ABC = BAC:
    • Se AB=BA (ou seja, A e B comutam), então para qualquer C vale ABC=BAC.
    • Se C for a matriz zero, então ABC=BAC=0.
    • Se C for invertível, então ABC=BAC implica necessariamente AB=BA (porque pode-se multiplicar por C^{-1} à direita).
  • Estratégia prática: para refutar uma afirmação do tipo “vale para todas as matrizes”, tente escolher C=I e então procurar A,B que não comutam — isso costuma ser o contraexemplo mais simples.

Resposta

Falsa.

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