Questão 11 Considere a sequência numérica definida por:
Usando o princípio de indução finita mostre que
a para todo
. Para isso, siga os passos a seguir:
i. Escreva a hipótese e a tese da propriedade a ser demonstrada.
ii. Prove que
para
;
iii. Mostre que
, para todo
;
iv. Supondo que
, prove que
;
v. Mostre que
;
vi. A partir dos passos anteriores, conclua a prova por indução.
i. Escreva a hipótese e a tese da propriedade a ser demonstrada.
ii. Prove que
iii. Mostre que
iv. Supondo que
v. Mostre que
vi. A partir dos passos anteriores, conclua a prova por indução.
Passo 1
O enunciado define a sequência
e pede para mostrar, usando indução finita, que
para todo
sempre que
.
O conteúdo envolve o princípio de indução matemática e manipulação de desigualdades com raízes quadradas.
O conteúdo envolve o princípio de indução matemática e manipulação de desigualdades com raízes quadradas.
Passo 2
Hipótese de indução (para um
genérico):
Tese a demonstrar no passo de indução:
Passo 3
Provar que
para
.
Como implica
, segue que
Como
Passo 4
Mostrar que
para
.
Basta usar a desigualdade do passo anterior:
Basta usar a desigualdade do passo anterior:
que já provamos.
Passo 5
Supondo a hipótese de indução
, provamos que
Aqui usamos que
e, portanto,
.
Passo 6
Mostrar que
para
.
Elevando ao quadrado:
Elevando ao quadrado:
o que vale pois
.
Logo, combinando com o passo anterior,
Logo, combinando com o passo anterior,
Passo 7
Conclusão por indução:
- Base
: temos pelo passo 4. - Passo indutivo: suposta
para , mostramos .
Logo, por indução,para todo sempre que .
Resposta
Para todo
e
, vale
.