Questão 11 Considere a sequência numérica definida por:
a_{1}=\sqrt{a}, \quad a_{n+1}=\sqrt{a+\sqrt{a_{n}}}, \quad \text { para } n=1,2,3, \ldots
Usando o princípio de indução finita mostre que a_{n}< a para todo n \geq 1 e a \geq 2. Para isso, siga os passos a seguir:
i. Escreva a hipótese e a tese da propriedade a ser demonstrada.
ii. Prove que a(a-1)>0 para a \geq 2;
iii. Mostre que \sqrt{a}<a, para todo a \geq 2;
iv. Supondo que a_{n}<a, prove que a_{n+1}<\sqrt{2 a};
v. Mostre que a_{n+1}<a;
vi. A partir dos passos anteriores, conclua a prova por indução.

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_{1} = \sqrt{a}, \quad a_{n+1} = \sqrt{\,a + \sqrt{a_{n}}\,},
e pede para mostrar, usando indução finita, que
a_{n} < a
para todo n\ge1 sempre que a\ge2.
O conteúdo envolve o princípio de indução matemática e manipulação de desigualdades com raízes quadradas.

Passo 2

Hipótese de indução (para um n genérico):
\text{(HI)}\quad a_{n} < a.
Tese a demonstrar no passo de indução:
a_{n+1} < a.

Passo 3

Provar que a(a-1)>0 para a\ge2.
Como a\ge2 implica a-1\ge1>0, segue que
a(a-1)\;=\;a\cdot(a-1)\;>\;0.

Passo 4

Mostrar que \sqrt{a}<a para a\ge2.
Basta usar a desigualdade do passo anterior:
\sqrt{a}<a \quad\Longleftrightarrow\quad a < a^2 \quad\Longleftrightarrow\quad a(a-1)>0,
que já provamos.

Passo 5

Supondo a hipótese de indução a_{n}<a, provamos que
a_{n+1} =\sqrt{\,a + \sqrt{a_{n}}\,} <\sqrt{\,a + a\,} =\sqrt{2a}.
Aqui usamos que \sqrt{a_{n}}<\sqrt{a} e, portanto, a + \sqrt{a_{n}}<a + a.

Passo 6

Mostrar que \sqrt{2a}\le a para a\ge2.
Elevando ao quadrado:
\sqrt{2a}\le a \quad\Longleftrightarrow\quad 2a \le a^2 \quad\Longleftrightarrow\quad a^2 - 2a = a(a-2)\ge0,
o que vale pois a\ge2.
Logo, combinando com o passo anterior,
a_{n+1}<\sqrt{2a}\le a \quad\Longrightarrow\quad a_{n+1}<a.

Passo 7

Conclusão por indução:
  1. Base n=1: temos a_{1}=\sqrt{a}<a pelo passo 4.
  2. Passo indutivo: suposta (\text{HI}) para n, mostramos a_{n+1}<a.
    Logo, por indução, a_{n}<a para todo n\ge1 sempre que a\ge2.

Resposta

Para todo n\ge1 e a\ge2, vale a_{n}<a.

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