Prove as seguintes desigualdades:
n^{3}>3 n(n+1)+1, para todo n \geq 4;

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todo inteiro n\ge 4, vale
n^{3} > 3\,n\,(n+1) + 1.
O conteúdo utilizado será o princípio de indução matemática.

Passo 2

Verificamos o caso base n=4. Substituindo,
4^{3} = 64 \quad\text{e}\quad 3\cdot 4\cdot(4+1)+1 = 3\cdot4\cdot5 + 1 = 60 + 1 = 61,
logo 64 > 61. O caso base está OK.

Passo 3

Suponha, como hipótese de indução, que para algum k\ge4 já vale
k^{3} > 3\,k\,(k+1) + 1.

Passo 4

Devemos mostrar que então também
(k+1)^{3} > 3\,(k+1)\,(k+2) + 1.
Calculemos a diferença entre os dois lados:
(k+1)^{3} - \bigl[3\,(k+1)\,(k+2) + 1\bigr] = \bigl(k^{3} + 3k^{2} + 3k + 1\bigr) - \bigl(3k^{2} + 9k + 6 + 1\bigr)
= k^{3} - 6k - 6.
Para k\ge 4 temos
k^{3} - 6k - 6 \ge 4^{3} - 6\cdot4 - 6 = 64 - 24 - 6 = 34 > 0,
logo (k+1)^{3} > 3\,(k+1)\,(k+2) + 1. Assim o passo indutivo se fecha.

Resposta

Portanto, por indução, para todo inteiro n\ge4 vale
n^{3} > 3\,n\,(n+1) + 1.

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