Questão 11 . Considere um sistema de equações lineares cuja matriz ampliada
\left[\begin{array}{llll} 1 & 1 & 3 & 2 \\\\ 1 & 2 & 4 & 3 \\\\ 1 & 3 & a & b \end{array}\right]
onde a e b são números reais.
a) Para que valor(es) de a e b o sistema tem infinitas soluções?
b) Para que Valor(es) de a e b o sistema não admite solução?

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} x_{1}+x_{2}+3x_{3}=2,\\\ x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=3,\\\ x_{1}+3x_{2}+a\,x_{3}=b, \end{cases}
e pergunta para quais (a,b) o sistema tem infinitas soluções ou não admite solução. Vamos usar o determinante da matriz de coeficientes para identificar quando ela é singular ( \det=0) e, nesse caso, verificar a compatibilidade pelo posto da matriz ampliada.

Passo 2

Calculemos o determinante da matriz de coeficientes
\det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3\\\\ 1 & 2 & 4\\\\ 1 & 3 & a \end{pmatrix} =1\cdot(2a-12)-1\cdot(a-4)+3\cdot(3-2) =a-5.
Logo \det=a-5, que se anula exatamente quando a=5.

Passo 3

Para [a\neq5) o determinante é não nulo e o sistema tem solução única. Para a=5 a matriz de coeficientes fica singular e o sistema pode ser compatível indeterminado (infinitas soluções) ou incompatível (sem solução). Precisamos então exigir que a terceira equação seja combinação linear das duas primeiras, inclusive no termo independente.
Buscamos \lambda,\mu tais que
\lambda\,(1,1,3)+\mu\,(1,2,4)=(1,3,5),
isto é,
\begin{cases} \lambda+\mu=1,\\\ \lambda+2\mu=3,\\\\ 3\lambda+4\mu=5. \end{cases}
Dessa última obtemos \mu=2\], \(\lambda=-1, e de fato 3(-1)+4\cdot2=5.

Passo 4

Aplicando essa combinação aos termos independentes (2,3,b), temos
-1\cdot2+2\cdot3 = -2+6=4,
que deve ser igual a b. Logo a compatibilidade exige b=4.

Passo 5

Conclusões:
– Se a=5 e b=4, o sistema é singular compatível e tem infinitas soluções.
– Se a=5 e b\neq4, a combinação falha para o termo independente e o sistema fica incompatível (sem solução).

Resposta

a) a=5 e b=4
b) a=5 e b\neq4

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