Questão 11. Dada o PVI
\left\{\begin{array}{c} y^{\prime}=e^{x}+y \\\ y(0)=0 \end{array}\right.
(a) Podemos afirmar que existe solulção, y(x), para esse PVI?
(b) Existe função passando pelo ponto (0,0) que é solução desse PVI? Justifique sua resposta!

Passo 1

O enunciado fornece o problema de valor inicial (PVI)
\left\{\begin{array}{l} y'=e^{x}+y,\\[4pt] y(0)=0. \end{array}\right.
As perguntas são:
  1. Podemos afirmar que existe solução y(x) para esse PVI?
  2. Existe alguma função que passe pelo ponto (0,0) que seja solução desse PVI? (ou seja: existe alguma função que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial)
As informações relevantes dadas são:
  • A função do lado direito da equação é f(x,y)=e^{x}+y.
  • A condição inicial é y(0)=0.
  • Não foram dadas mais restrições sobre o domínio; devemos trabalhar onde faz sentido aplicar teoremas de existência/unicidade e/ou resolver explicitamente a equação.]

Passo 2

Condição de existência e unicidade (resumo didático): se a função f(x,y) for contínua em x e y numa vizinhança do ponto inicial e se \partial f/\partial y for contínua nessa vizinhança (ou, de forma mais simples, se f for Lipschitz em y), então existe uma solução única do PVI, ao menos localmente. Vou aplicar esse critério ao nosso f.
Verificação das hipóteses para o nosso f:
  • Temos f(x,y)=e^{x}+y. As funções e^{x} e y são contínuas em todo (x,y)\in\mathbb{R}^2, então f é contínua em todo \mathbb{R}^2.
  • Calcule a derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=1,
que é contínua (na verdade constante) em todo \mathbb{R}^2. Isso implica que f é Lipschitz em y (com constante de Lipschitz L=1) em qualquer região.
Conclusão desta etapa: as hipóteses do teorema de existência e unicidade (Picard–Lindelöf) são satisfeitas no ponto inicial (0,0), portanto existe uma solução única local. Como as hipóteses valem em todo \mathbb{R}^2, essa solução é definida globalmente em \mathbb{R}.

Passo 3

Agora vou resolver explicitamente a equação diferencial para encontrar a solução concreta — isso ajuda a entender como resolver ODEs lineares na prova.
Reescrevo a equação em forma linear padrão:
y' - y = e^{x}.
Isto é uma equação linear de primeira ordem do tipo
y' + p(x)\,y = q(x),
onde, comparando, p(x)=-1 e q(x)=e^{x}.

Passo 4

Método do fator integrante (explicação didática): para resolver y' + p(x)y = q(x) escolhemos o fator integrante
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
Multiplicando toda a equação por \mu(x) transformamos o lado esquerdo em derivada do produto \mu(x)y, isto é,
(\mu(x)y)'=\mu(x)q(x).
Depois integramos ambos os lados e isolamos y.
Aplicando ao nosso caso:
p(x)=-1 \quad\Rightarrow\quad \mu(x)=e^{\int -1\,dx}=e^{-x}.
Multiplico a equação por \mu(x)=e^{-x}:
e^{-x}y' - e^{-x}y = e^{-x}e^{x}=1.
Observação (importante): o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^{-x}y, porque
\frac{d}{dx}\big(e^{-x}y\big)=e^{-x}y' - e^{-x}y.

Passo 5

Integro ambos os lados:
\frac{d}{dx}\big(e^{-x}y\big)=1 \quad\Longrightarrow\quad e^{-x}y=\int 1\,dx = x + C,
onde C é constante de integração.
Isolando y:
y(x)=e^{x}(x+C).
Essa é a solução geral da equação diferencial linear.

Passo 6

Agora aplico a condição inicial y(0)=0 para determinar C:
y(0)=e^{0}(0+C)=1\cdot C = C.
Como y(0)=0, obtemos C=0. Logo a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(x)=x e^{x}.

Passo 7

Verificação rápida (por segurança e para aprender a checar na prova): calcule y' a partir de y(x)=x e^{x}:
y'(x)=\frac{d}{dx}(x e^{x})=e^{x}+x e^{x}=e^{x}+y(x),
logo a função encontrada satisfaz a equação diferencial e, como já conferimos, satisfaz y(0)=0. Portanto é de fato solução do PVI.

Passo 8

Conclusões ligadas às perguntas:
  • Pela etapa de existência/unicidade (Passo 2) sabemos que existe solução e que ela é única localmente; como f e \partial f/\partial y são contínuas em todo \mathbb{R}^2, a solução é definida em toda reta real (solução global).
  • Pela resolução explícita (Passos 4–7) exibimos a solução única que passa por (0,0), que é y(x)=x e^{x}. Não existe outra função passando por (0,0) que seja solução, por causa do teorema de unicidade.

Resposta

(a) Sim. Existe solução única e global; a solução é y(x)=x e^{x}.
(b) Sim. A única função que passa por (0,0) e é solução do PVI é y(x)=x e^{x}.

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