Questão 11. Dada o PVI
(a) Podemos afirmar que existe solulção,
, para esse PVI?
(b) Existe função passando pelo ponto
que é solução desse PVI? Justifique sua resposta!
(b) Existe função passando pelo ponto
Passo 1
O enunciado fornece o problema de valor inicial (PVI)
As perguntas são:
- Podemos afirmar que existe solução
para esse PVI? - Existe alguma função que passe pelo ponto
que seja solução desse PVI? (ou seja: existe alguma função que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial)
As informações relevantes dadas são:
- A função do lado direito da equação é
. - A condição inicial é
. - Não foram dadas mais restrições sobre o domínio; devemos trabalhar onde faz sentido aplicar teoremas de existência/unicidade e/ou resolver explicitamente a equação.]
Passo 2
Condição de existência e unicidade (resumo didático): se a função
for contínua em
e
numa vizinhança do ponto inicial e se
for contínua nessa vizinhança (ou, de forma mais simples, se
for Lipschitz em
), então existe uma solução única do PVI, ao menos localmente. Vou aplicar esse critério ao nosso
.
Verificação das hipóteses para o nosso
:
- Temos
. As funções e são contínuas em todo , então é contínua em todo . - Calcule a derivada parcial em relação a
:
que é contínua (na verdade constante) em todo
. Isso implica que
é Lipschitz em
(com constante de Lipschitz
) em qualquer região.
Conclusão desta etapa: as hipóteses do teorema de existência e unicidade (Picard–Lindelöf) são satisfeitas no ponto inicial
, portanto existe uma solução única local. Como as hipóteses valem em todo
, essa solução é definida globalmente em
.
Passo 3
Agora vou resolver explicitamente a equação diferencial para encontrar a solução concreta — isso ajuda a entender como resolver ODEs lineares na prova.
Reescrevo a equação em forma linear padrão:
Isto é uma equação linear de primeira ordem do tipo
onde, comparando,
e
.
Passo 4
Método do fator integrante (explicação didática): para resolver
escolhemos o fator integrante
Multiplicando toda a equação por
transformamos o lado esquerdo em derivada do produto
, isto é,
Depois integramos ambos os lados e isolamos
.
Aplicando ao nosso caso:
Multiplico a equação por
:
Observação (importante): o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, porque
Passo 5
Integro ambos os lados:
onde
é constante de integração.
Isolando
:
Essa é a solução geral da equação diferencial linear.
Passo 6
Agora aplico a condição inicial
para determinar
:
Como
, obtemos
. Logo a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Passo 7
Verificação rápida (por segurança e para aprender a checar na prova): calcule
a partir de
:
logo a função encontrada satisfaz a equação diferencial e, como já conferimos, satisfaz
. Portanto é de fato solução do PVI.
Passo 8
Conclusões ligadas às perguntas:
- Pela etapa de existência/unicidade (Passo 2) sabemos que existe solução e que ela é única localmente; como
e são contínuas em todo , a solução é definida em toda reta real (solução global). - Pela resolução explícita (Passos 4–7) exibimos a solução única que passa por
, que é . Não existe outra função passando por que seja solução, por causa do teorema de unicidade.
Resposta
(a) Sim. Existe solução única e global; a solução é
.
(b) Sim. A única função que passa por e é solução do PVI é
.
(b) Sim. A única função que passa por