Determine os pontos
para os quais o Teorema de Picard garante a existência e unicidade de soluções para as seguintes equações diferenciais
(a)
;
(b)
;
(c)
;
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
Você me pede para determinar os pontos para os quais o Teorema de Picard (Picard–Lindelöf) garante existência e unicidade de soluções para quatro equações diferenciais. Aqui estão, explicitamente, as equações e o que preciso entregar para cada uma:
O que preciso fornecer: para cada item, o conjunto de pontos
em que o Teorema de Picard garante existência e unicidade de uma solução da equação com condição inicial em
. Também vou explicitar quaisquer reescritas da equação necessárias e por que o teorema se aplica (ou não) nesses pontos.
Passo 2
Vou enunciar o Teorema de Picard de forma prática e explicar como verificar suas hipóteses (com calma, como você pediu).
Enunciado prático do Teorema de Picard–Lindelöf (forma útil aqui): suponha que a equação diferencial de primeira ordem esteja escrita na forma
Se existe um retângulo aberto (ou produto de intervalos)
contendo o ponto
tal que:
-
é contínua em ; - a derivada parcial
existe e é contínua em ;
então existe um único (local) soluçãoda equação com condição inicial , pelo menos em algum intervalo em torno de .
O que isto significa, em palavras simples:
- Precisamos escrever a EDO na forma
. - Depois checamos onde
e são contínuas. Onde ambas forem contínuas em um retângulo ao redor de , Picard garante existência e unicidade local. - Se não conseguimos escrever na forma
porque a equação tem coeficientes que anulam, ou fica indefinida (por exemplo divisão por zero), então Picard não se aplica nesses pontos.
Agora vou aplicar esse procedimento, com passos bem detalhados, a cada item.
Passo 3
Análise do item (a):
.
- Reescrita na forma
: isole :
Portanto podemos definir
- Calcule
:
-
Continuidade: a função
é um polinômio em e , logo é contínua em todo . A parcial também é um polinômio (dependendo só de ), logo contínua em todo . -
Conclusão segundo Picard: para qualquer ponto
existe um retângulo em torno de onde e são contínuas; portanto Picard garante existência e unicidade local da solução para todo .
Comentário amigável: aqui não tem nada de perigoso —
é bem comportada em todos os pontos, então você pode escolher qualquer condição inicial e o teorema te garante uma única solução perto dela.
Passo 4
Análise do item (b):
.
- Primeiro, tente escrever na forma
. Se , podemos dividir por e obter
Então para
definimos
- Calcule
onde isto faz sentido:
-
Continuidade: tanto
quanto são contínuas em qualquer região que não contenha pontos com . Ou seja, são contínuas em . Em particular, para qualquer com existe um retângulo em torno de contido em onde as hipóteses de Picard valem. -
E se
? Nesse caso não podemos escrever como contínua na vizinhança de porque a divisão por daria infinito. Além disso, a equação original em reduz a (pois implica ), mas não diz nada sobre . Isso mostra que o problema é singular em e o Teorema de Picard não se aplica para pontos com . -
Conclusão segundo Picard: existência e unicidade garantidas para todos os pontos
tais que . Para pontos com o teorema não garante nada (há um comportamento singular).
Comentário amigável: pensar em
como “divisor por zero” é um sinal clássico de problema; quando isso acontece o Picard não entra em cena.
Passo 5
Análise do item (c):
- Já está na forma
com
- Calcule a parcial em relação a
:
-
Continuidade: ambas as funções
e são contínuas em qualquer região que não contenha pontos onde . O problema é a divisão por — em as expressões ficam indefinidas. Portanto as hipóteses de Picard valem em qualquer retângulo que não toque a linha . -
Conclusão segundo Picard: para qualquer ponto
com existe uma vizinhança onde e são contínuas, logo existe e é única a solução local. Para pontos com , Picard não garante existência/uniquness porque não está definida ali.
Comentário amigável: intuitivamente, quando a equação tem
no denominador, você precisa que a condição inicial não faça o denominador zero — caso contrário não dá para aplicar o teorema clássico.
Passo 6
Análise do item (d):
- Primeiro, reescrevemos como uma equação diferencial na forma
. Dividindo por (assumindo diferencial padrão) e isolando ,
Portanto
- Calcule
:
-
Continuidade: observe que
para todo , logo o denominador nunca é zero. As funções e são quocientes de funções polinomiais com denominador sempre positivo, portanto contínuas em todo . -
Conclusão segundo Picard: para qualquer ponto
existe um retângulo ao redor dele onde e são contínuas; portanto Picard garante existência e unicidade local para todo .
Comentário amigável: aqui não tem divisor que zera, então está tudo bem globalmente — o RHS é uma função suave de
e
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)