Determine os pontos
para os quais o Teorema de Picard garante a existência e unicidade de soluções para as seguintes equações diferenciais
(a) y^{\prime}+x y=3;
(b) x y^{\prime}+y=3;
(c) y^{\prime}=\frac{e^{x}}{y};
(d) \left(1+y^{2}\right) d x+\left(1+x^{2}\right) d y=0

Passo 1

Você me pede para determinar os pontos para os quais o Teorema de Picard (Picard–Lindelöf) garante existência e unicidade de soluções para quatro equações diferenciais. Aqui estão, explicitamente, as equações e o que preciso entregar para cada uma:
\text{(a) } y'+x y=3;
\text{(b) } x y'+y=3;
\text{\text{(c)} } y'=\frac{e^{x}}{y};
\text{(d) } \left(1+y^{2}\right)dx+\left(1+x^{2}\right)dy=0.
O que preciso fornecer: para cada item, o conjunto de pontos (x_{0},y_{0}) em que o Teorema de Picard garante existência e unicidade de uma solução da equação com condição inicial em (x_{0},y_{0}). Também vou explicitar quaisquer reescritas da equação necessárias e por que o teorema se aplica (ou não) nesses pontos.

Passo 2

Vou enunciar o Teorema de Picard de forma prática e explicar como verificar suas hipóteses (com calma, como você pediu).
Enunciado prático do Teorema de Picard–Lindelöf (forma útil aqui): suponha que a equação diferencial de primeira ordem esteja escrita na forma
y'=f(x,y).
Se existe um retângulo aberto (ou produto de intervalos) R=\{(x,y)\mid |x-x_0|<a,\\ |y-y_0|<b\} contendo o ponto (x_0,y_0) tal que:
  1. f é contínua em R;
  2. a derivada parcial \partial f/\partial y existe e é contínua em R;
    então existe um único (local) solução y(x) da equação com condição inicial y(x_0)=y_0, pelo menos em algum intervalo em torno de x_0.
O que isto significa, em palavras simples:
  • Precisamos escrever a EDO na forma y'=f(x,y).
  • Depois checamos onde f(x,y) e \partial f/\partial y são contínuas. Onde ambas forem contínuas em um retângulo ao redor de (x_0,y_0), Picard garante existência e unicidade local.
  • Se não conseguimos escrever na forma y'=f(x,y) porque a equação tem coeficientes que anulam, ou f fica indefinida (por exemplo divisão por zero), então Picard não se aplica nesses pontos.
Agora vou aplicar esse procedimento, com passos bem detalhados, a cada item.

Passo 3

Análise do item (a): \;y'+x y=3.
  1. Reescrita na forma y'=f(x,y): isole y':
y' = 3 - x y.
Portanto podemos definir
f(x,y)=3-xy.
  1. Calcule \partial f/\partial y:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = -x.
  1. Continuidade: a função f(x,y)=3-xy é um polinômio em x e y, logo é contínua em todo \mathbb{R}^2. A parcial \partial f/\partial y=-x também é um polinômio (dependendo só de x), logo contínua em todo \mathbb{R}^2.
  2. Conclusão segundo Picard: para qualquer ponto (x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2 existe um retângulo em torno de (x_0,y_0) onde f e \partial f/\partial y são contínuas; portanto Picard garante existência e unicidade local da solução para todo (x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2.
Comentário amigável: aqui não tem nada de perigoso — f é bem comportada em todos os pontos, então você pode escolher qualquer condição inicial e o teorema te garante uma única solução perto dela.

Passo 4

Análise do item (b): \;x y'+y=3.
  1. Primeiro, tente escrever na forma y'=f(x,y). Se x\neq 0, podemos dividir por x e obter
y'=\frac{3-y}{x}.
Então para x\neq 0 definimos
f(x,y)=\frac{3-y}{x}.
  1. Calcule \partial f/\partial y onde isto faz sentido:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = -\frac{1}{x}.
  1. Continuidade: tanto f(x,y)=\dfrac{3-y}{x} quanto \partial f/\partial y=-\dfrac{1}{x} são contínuas em qualquer região que não contenha pontos com x=0. Ou seja, são contínuas em \{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x\neq 0\}. Em particular, para qualquer (x_0,y_0) com x_0\neq 0 existe um retângulo em torno de (x_0,y_0) contido em x\neq 0 onde as hipóteses de Picard valem.
  2. E se x_0=0? Nesse caso não podemos escrever y' como f(x,y) contínua na vizinhança de (0,y_0) porque a divisão por x daria infinito. Além disso, a equação original em x=0 reduz a y(0)=3 (pois 0\cdot y'(0)+y(0)=3 implica y(0)=3), mas não diz nada sobre y'(0). Isso mostra que o problema é singular em x=0 e o Teorema de Picard não se aplica para pontos com x_0=0.
  3. Conclusão segundo Picard: existência e unicidade garantidas para todos os pontos (x_0,y_0) tais que x_0\neq 0. Para pontos com x_0=0 o teorema não garante nada (há um comportamento singular).
Comentário amigável: pensar em x=0 como “divisor por zero” é um sinal clássico de problema; quando isso acontece o Picard não entra em cena.

Passo 5

Análise do item (c): \;y'=\dfrac{e^{x}}{y}.
  1. Já está na forma y'=f(x,y) com
f(x,y)=\frac{e^{x}}{y}.
  1. Calcule a parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = -\frac{e^{x}}{y^{2}}.
  1. Continuidade: ambas as funções f(x,y)=\dfrac{e^{x}}{y} e \partial f/\partial y=-\dfrac{e^{x}}{y^{2}} são contínuas em qualquer região que não contenha pontos onde y=0. O problema é a divisão por y — em y=0 as expressões ficam indefinidas. Portanto as hipóteses de Picard valem em qualquer retângulo que não toque a linha y=0.
  2. Conclusão segundo Picard: para qualquer ponto (x_0,y_0) com y_0\neq 0 existe uma vizinhança onde f e \partial f/\partial y são contínuas, logo existe e é única a solução local. Para pontos com y_0=0, Picard não garante existência/uniquness porque f não está definida ali.
Comentário amigável: intuitivamente, quando a equação tem y no denominador, você precisa que a condição inicial não faça o denominador zero — caso contrário não dá para aplicar o teorema clássico.

Passo 6

Análise do item (d): \;\left(1+y^{2}\right)dx+\left(1+x^{2}\right)dy=0.
  1. Primeiro, reescrevemos como uma equação diferencial na forma y'=f(x,y). Dividindo por dx (assumindo diferencial padrão) e isolando dy/dx,
\frac{dy}{dx} = -\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}}.
Portanto
f(x,y) = -\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}}.
  1. Calcule \partial f/\partial y:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = -\frac{2y}{1+x^{2}}.
  1. Continuidade: observe que 1+x^{2}\ge 1 para todo x\in\mathbb{R}, logo o denominador nunca é zero. As funções f(x,y) e \partial f/\partial y(x,y) são quocientes de funções polinomiais com denominador sempre positivo, portanto contínuas em todo \mathbb{R}^2.
  2. Conclusão segundo Picard: para qualquer ponto (x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2 existe um retângulo ao redor dele onde f e \partial f/\partial y são contínuas; portanto Picard garante existência e unicidade local para todo (x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2.
Comentário amigável: aqui não tem divisor que zera, então está tudo bem globalmente — o RHS é uma função suave de x e y.

Resposta

(a) \{(x_{0},y_{0})\in\mathbb{R}^{2}\}
(b) \{(x_{0},y_{0})\in\mathbb{R}^{2}\mid x_{0}\neq 0\}
(c) \{(x_{0},y_{0})\in\mathbb{R}^{2}\mid y_{0}\neq 0\}
(d) \{(x_{0},y_{0})\in\mathbb{R}^{2}\}

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