Questão 11. Em um determinado transformador a impedância no secundário é Z_{2}=75 \Omega. Esta impedância refletida ao primário é igual a 8 \Omega. Calcule a relação de transformação a.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a relação de transformação a.
Informações dadas: \,Z_{2}=75\\ \Omega (impedância no secundário) e a impedância refletida ao primário é 8\\ \Omega.

Passo 2

Vamos lembrar a definição prática que liga tensões, correntes e impedâncias num transformador ideal. Para um transformador ideal definimos a relação de espiras (relação de transformação) por
a=\frac{N_1}{N_2}=\frac{V_1}{V_2},
onde N_1,N_2 são o número de espiras do primário e do secundário e V_1,V_2 as tensões nos lados correspondentes. A corrente se relaciona de forma inversa:
\frac{I_1}{I_2}=\frac{1}{a}.
Aqui V_1,I_1 são tensão e corrente no primário e V_2,I_2 no secundário. (Se isso parecer estranho, pensa assim: mais espiras -> mais tensão, mas para a mesma potência a corrente cai.)

Passo 3

A impedância vista no primário, quando ligada uma impedância Z_2 no secundário, é dada por
Z_1=\frac{V_1}{I_1}.
Usando V_1=aV_2 e I_1=\dfrac{I_2}{a} obtemos:
Z_1=\frac{aV_2}{I_2/a}=a^2\frac{V_2}{I_2}=a^2 Z_2.
Portanto, a impedância refletida ao primário é \,Z_{\text{ref}}=a^2 Z_2. Esta é a fórmula que vamos usar.

Passo 4

Substituímos os valores conhecidos na relação \,Z_{\text{ref}}=a^2 Z_2. Como a impedância refletida ao primário é 8\\ \Omega, temos
8 = a^2 \cdot 75.
Isolando a^2,
a^2 = \frac{8}{75}.

Passo 5

Agora extraímos a raiz quadrada para obter a:
a=\sqrt{\frac{8}{75}}.
Podemos simplificar a expressão exata: \sqrt{8} = 2\sqrt{2} e \sqrt{75}=5\sqrt{3}, então
a=\frac{2\sqrt{2}}{5\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{6}}{15}.

Passo 6

Vamos dar o valor numérico aproximado para você ter uma noção prática:
a=\frac{2\sqrt{6}}{15}\approx 0,3266.
Interpretação rápida: a<1 significa que o primário tem menos tensão por espira do que o secundário (ou, em termos de espiras, N_1<N_2), e a impedância vista no primário é bem menor que a do secundário por causa do fator a^2. Isso é consistente com os números: 8\\ \Omega é bem menor que 75\\ \Omega.

Resposta

a=\dfrac{2\sqrt{6}}{15}\approx 0,3266

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