Questão 7. Uma bobina em um circuito magnético é excitada com as seguintes fontes de tensão:
b) 100 \mathrm{~V}, 500 \mathrm{~Hz} Compare as perdas por histerese e por correntes parasitas considerando essas alimentações. Para as perdas por histerese, considere n=2.

Passo 1

O enunciado dá uma alimentação senoidal da bobina com tensão eficaz 100\\ \mathrm{V} e frequência 500\\ \mathrm{Hz}. Pede-se comparar as perdas por histerese e por correntes parasitas (eddy currents) para essa alimentação, e diz para usar n=2 na lei de histerese. Informações relevantes fornecidas explicitamente: \;V_{\text{rms}}=100\\ \mathrm{V} e \;f=500\\ \mathrm{Hz}. Também sabemos que devemos tratar perdas magnéticas do núcleo (histerese e correntes parasitas).

Passo 2

Vamos escrever as fórmulas gerais que relacionam tensão, frequência e fluxo magnético no núcleo. Para uma bobina com N espiras e área da seção reta do núcleo A, se o fluxo magnético no núcleo é sinusoidal com amplitude B_{\max} então a tensão eficaz por todo o enrolamento é dada por (fórmula padrão de transformadores/bobinas):
V_{\text{rms}} = 4{,}44\; f\; N\; A\; B_{\max}.
Aqui:
  • V_{\text{rms}} é a tensão eficaz aplicada ( 100\\ \mathrm{V} no enunciado);
  • f é a frequência ( 500\\ \mathrm{Hz});
  • N é o número de espiras (não dado, mas vamos mantê-lo simbólico);
  • A é a área da seção do núcleo (não dada);
  • B_{\max} é a amplitude do fluxo magnético (o que queremos relacionar com V e f).

Passo 3

Isolamos B_{\max} da equação anterior para ver como o fluxo varia com V e f:
B_{\max} = \frac{V_{\text{rms}}}{4{,}44\; f\; N\; A}.
Observe a dependência importante: para tensão eficaz fixa V_{\text{rms}}, temos B_{\max}\propto \dfrac{1}{f}. Ou seja, se aumento f mantendo V constante, B_{\max} diminui proporcionalmente.

Passo 4

Agora escrevemos as leis empíricas das perdas por volume (ou por massa) no material magnético:
  • Perda por histerese (por unidade de volume, ou por massa) costuma ser modelada por
P_h \propto f\; B_{\max}^n,
onde n é a exponencial dada; o enunciado pede n=2. Vou chamar a constante proporcional de K_h (depende do material e da massa/volume).
  • Perda por correntes parasitas (eddy currents), para laminação de espessura fixa e regime de campo linear, tem dependência típica
P_e \propto f^2\; B_{\max}^2,
com constante proporcional K_e que engloba resistividade, espessura das lâminas, geometria e volume.
Aqui P_h e P_e são perdas por unidade de volume (ou massa) — a forma funcional importa para a comparação.

Passo 5

Substituímos B_{\max} em termos de V_{\text{rms}} e f nas expressões de perdas. Primeiro para a histerese, usando n=2:
P_h = K_h\; f\; B_{\max}^2 = K_h\; f\; \left(\frac{V_{\text{rms}}}{4{,}44\; f\; N\; A}\right)^2.
Fatorando, obtemos
P_h = K_h\; \frac{V_{\text{rms}}^2}{(4{,}44\; N\; A)^2}\; \frac{f}{f^2} = \underbrace{K_h\; \frac{1}{(4{,}44\; N\; A)^2}}_{\text{constante}}\; \frac{V_{\text{rms}}^2}{f}.
Portanto, com n=2,
P_h \propto \frac{V_{\text{rms}}^2}{f}.
Isto é fundamental: para tensão fixa, as perdas por histerese diminuem quando a frequência aumenta (proporcional a 1/f).

Passo 6

Agora para as correntes parasitas:
P_e = K_e\; f^2\; B_{\max}^2 = K_e\; f^2\; \left(\frac{V_{\text{rms}}}{4{,}44\; f\; N\; A}\right)^2.
Simplificando,
P_e = K_e\; \frac{V_{\text{rms}}^2}{(4{,}44\; N\; A)^2}\; \frac{f^2}{f^2} = \underbrace{K_e\; \frac{1}{(4{,}44\; N\; A)^2}}_{\text{constante}}\; V_{\text{rms}}^2.
Logo,
P_e \propto V_{\text{rms}}^2,
ou seja, para tensão fixa, a perda por correntes parasitas é aproximadamente independente da frequência (o fator f^2 cancela com a diminuição de B_{\max}^2 quando B_{\max}\propto 1/f).

Passo 7

Resumo das dependências (mantendo V_{\text{rms}} constante):
P_h \propto \frac{V_{\text{rms}}^2}{f},\qquad P_e \propto V_{\text{rms}}^2.
Portanto, quando aumento a frequência mantendo V_{\text{rms}} fixo:
  • As perdas por histerese diminuem com 1/f.
  • As perdas por correntes parasitas permanecem essencialmente constantes (não dependem de f nessa aproximação).

Passo 8

Aplicando ao caso específico \;V_{\text{rms}}=100\\ \mathrm{V} e \;f=500\\ \mathrm{Hz}: não temos as constantes K_h, K_e, N e A, então não podemos fornecer valores absolutos. Porém podemos afirmar qualitativamente e por escala: comparado a uma alimentação típica de 50\\ \mathrm{Hz} com a mesma tensão, a histerese será reduzida por um fator
\frac{P_h(500)}{P_h(50)} = \frac{V^2/500}{V^2/50} = \frac{50}{500}=0{,}1,
ou seja, a histerese cairia para 10\% do valor em 50\\ \mathrm{Hz}. Já P_e(500) fica aproximadamente igual a P_e(50). Consequência prática: em 500\\ \mathrm{Hz} as perdas por correntes parasitas tendem a ser muito mais importantes (dominantes) do que as perdas por histerese, para a mesma tensão aplicada.

Passo 9

Interpretação física e dica para prova: quando a fonte tem tensão fixa e a frequência aumenta, o fluxo magnético no núcleo diminui (porque B_{\max}\propto 1/f). Como a histerese depende linearmente de f e de B^n, com n=2 o efeito combinado leva a P_h\propto 1/f. Já as perdas por correntes parasitas, que inicialmente crescem com f^2, são compensadas pela redução de B_{\max}^2 e ficam independentes de f. Assim, para frequências altas com tensão constante, espere eddy currents dominando — o que, na prática, exige laminação mais fina ou materiais de maior resistividade.

Resposta

As perdas por histerese satisfazem P_h\propto\dfrac{V_{\text{rms}}^2}{f} (com n=2), e as perdas por correntes parasitas satisfazem P_e\propto V_{\text{rms}}^2 (aproximadamente independentes de f). Portanto, para 100\\ \mathrm{V} a 500\\ \mathrm{Hz} as perdas por histerese são reduzidas (escalam como 1/f) e as perdas por correntes parasitas permanecem aproximadamente as mesmas; em consequência, as correntes parasitas tendem a dominar as perdas em 500\\ \mathrm{Hz}.

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