QUESTÃO 11
(INSPER 2019) Existem cidades no mundo cujo traçado visto de cima assemelha-se a um tabuleiro de xadrez. Considere um ciclista trafegando por uma dessas cidades, percorrendo, inicialmente,
no sentido leste, seguindo por mais
no sentido norte. A seguir, ele passa a se movimentar no sentido leste, percorrendo, novamente,
e finalizando com mais
no sentido norte. Todo esse percurso é realizado em 18 minutos.
Passo 1
O enunciado dá um percurso com trechos e o tempo total e não traz uma pergunta explícita. Vou listar claramente os dados fornecidos (copiando os valores do enunciado) e as perguntas naturais que geralmente se pedem para esse tipo de problema:
Dados fornecidos:
- Primeiro trecho:
para leste. - Segundo trecho:
para norte. - Terceiro trecho:
para leste. - Quarto trecho:
para norte. - Tempo total do percurso:
.
Perguntas que vou responder (as mais comuns e úteis para prova):
- Qual a distância total percorrida e qual a rapidez média (velocidade escalar média)?
- Qual o deslocamento resultante (vetor), sua magnitude e direção?
- Qual a velocidade média vetorial (componentes e magnitude) e sua direção?
Ainda não começo a calcular — só organizei o que foi dado e o que vamos determinar.
Passo 2
Distância total percorrida e rapidez média.
Primeiro entenda: “distância percorrida” é o comprimento do caminho somando todos os trechos (é uma grandeza escalar). “Rapidez média” (ou velocidade escalar média) é a distância total dividida pelo tempo total.
Calcule a distância total somando os quatro trechos:
Agora converta o tempo para horas (porque normalmente queremos km/h):
Fórmula da rapidez média: se
é a distância total e
é o tempo total, então
onde
está em
e
em
resulta em
.
Substituindo:
Dica prática para a prova: dividir por
é o mesmo que multiplicar por
, então
— dá rápido sem calculadora.
Passo 3
Deslocamento resultante (vetor): componentes leste-oeste e norte-sul.
Deslocamento é um vetor que liga o ponto inicial ao ponto final; para trajetórias em trechos retos ortogonais somamos as componentes.
Componente leste (x): soma dos trechos para leste menos trechos para oeste. Aqui só há trechos para leste:
Componente norte (y): soma dos trechos para norte:
Logo o vetor deslocamento é
Para a magnitude do deslocamento usamos o Teorema de Pitágoras: se
e
são as componentes,
Aplicando:
Direção do deslocamento (ângulo
medido a partir do leste, positivo para o norte): use a tangente
Passo 4
Velocidade média vetorial (média do vetor velocidade): definição e cálculo.
Definição: a velocidade média vetorial é o deslocamento vetorial dividido pelo intervalo de tempo:
Aqui
.
Podemos calcular componente a componente:
Logo
Magnitude da velocidade média (verificação por componente ou usando deslocamento dividido por tempo):
Outra forma:
Valor numérico aproximado:
A direção da velocidade média é a mesma do deslocamento, ou seja
a partir do leste em direção ao norte.
Passo 5
Resumo de interpretação e dicas rápidas para prova (não polui as contas, só ajuda):
- Rapidez média (escala): usa o comprimento total do caminho dividido pelo tempo total. Aqui deu
. - Velocidade média (vetor): usa o deslocamento (vetor) dividido pelo tempo; componentes facilitam cálculo (aqui deu
). - Se for pedido apenas módulo da velocidade média, pode dividir o módulo do deslocamento pelo tempo.
- Evite calculadora para esses números: some inteiros, use
e simplifique divisões por como multiplicar por .
Resposta
Distância total percorrida:
. Rapidez média:
.
Deslocamento: ;
; direção
(medido a partir do leste para o norte).
Velocidade média vetorial: ;
.
Deslocamento:
Velocidade média vetorial: