QUESTÃO 11

(INSPER 2019) Existem cidades no mundo cujo traçado visto de cima assemelha-se a um tabuleiro de xadrez. Considere um ciclista trafegando por uma dessas cidades, percorrendo, inicialmente, 2,0 \mathrm{~km} no sentido leste, seguindo por mais 3,0 \mathrm{~km} no sentido norte. A seguir, ele passa a se movimentar no sentido leste, percorrendo, novamente, 1,0 \mathrm{~km} e finalizando com mais 3,0 \mathrm{~km} no sentido norte. Todo esse percurso é realizado em 18 minutos.

Passo 1

O enunciado dá um percurso com trechos e o tempo total e não traz uma pergunta explícita. Vou listar claramente os dados fornecidos (copiando os valores do enunciado) e as perguntas naturais que geralmente se pedem para esse tipo de problema:
Dados fornecidos:
  • Primeiro trecho: \,2,0\\ \text{km} para leste.
  • Segundo trecho: \,3,0\\ \text{km} para norte.
  • Terceiro trecho: \,1,0\\ \text{km} para leste.
  • Quarto trecho: \,3,0\\ \text{km} para norte.
  • Tempo total do percurso: \,18\\ \text{min}.
Perguntas que vou responder (as mais comuns e úteis para prova):
  1. Qual a distância total percorrida e qual a rapidez média (velocidade escalar média)?
  2. Qual o deslocamento resultante (vetor), sua magnitude e direção?
  3. Qual a velocidade média vetorial (componentes e magnitude) e sua direção?
Ainda não começo a calcular — só organizei o que foi dado e o que vamos determinar.

Passo 2

Distância total percorrida e rapidez média.
Primeiro entenda: “distância percorrida” é o comprimento do caminho somando todos os trechos (é uma grandeza escalar). “Rapidez média” (ou velocidade escalar média) é a distância total dividida pelo tempo total.
Calcule a distância total somando os quatro trechos:
\text{distância total} = 2,0 + 3,0 + 1,0 + 3,0 = 9,0\\ \text{km}.â
Agora converta o tempo para horas (porque normalmente queremos km/h):
18\\ \text{min} = \frac{18}{60}\\ \text{h} = 0,3\\ \text{h}.
Fórmula da rapidez média: se D é a distância total e \Delta t é o tempo total, então
v_{\text{média (esc)}} = \frac{D}{\Delta t},é
onde D está em \text{km} e \Delta t em \text{h} resulta em \text{km/h}.
Substituindo:
v_{\text{média (esc)}} = \frac{9,0}{0,3} = 30\\ \text{km/h}.é
Dica prática para a prova: dividir por 0,3 é o mesmo que multiplicar por \tfrac{10}{3}, então 9\cdot\tfrac{10}{3}=3\cdot10=30 — dá rápido sem calculadora.

Passo 3

Deslocamento resultante (vetor): componentes leste-oeste e norte-sul.
Deslocamento é um vetor que liga o ponto inicial ao ponto final; para trajetórias em trechos retos ortogonais somamos as componentes.
Componente leste (x): soma dos trechos para leste menos trechos para oeste. Aqui só há trechos para leste:
\Delta x = 2,0 + 1,0 = 3,0\\ \text{km}\quad(\text{leste}).
Componente norte (y): soma dos trechos para norte:
\Delta y = 3,0 + 3,0 = 6,0\\ \text{km}\quad(\text{norte}).
Logo o vetor deslocamento é
\vec{\Delta r} = (3,0\\ \text{km})\,\hat{\imath} + (6,0\\ \text{km})\,\hat{\jmath}.
Para a magnitude do deslocamento usamos o Teorema de Pitágoras: se \Delta x e \Delta y são as componentes,
|\vec{\Delta r}| = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}.
Aplicando:
|\vec{\Delta r}| = \sqrt{3,0^{2} + 6,0^{2}} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\\ \text{km}\approx 6,708\\ \text{km}.
Direção do deslocamento (ângulo \theta medido a partir do leste, positivo para o norte): use a tangente
\theta = \arctan\!\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right) = \arctan\!\left(\frac{6,0}{3,0}\right) = \arctan(2) \approx 63{,}43^\circ.

Passo 4

Velocidade média vetorial (média do vetor velocidade): definição e cálculo.
Definição: a velocidade média vetorial é o deslocamento vetorial dividido pelo intervalo de tempo:
\vec{v}_{\text{média}} = \frac{\vec{\Delta r}}{\Delta t}.é
Aqui \Delta t = 0,3\\ \text{h}.
Podemos calcular componente a componente:
v_{x} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{3,0}{0,3} = 10\\ \text{km/h},
v_{y} = \frac{\Delta y}{\Delta t} = \frac{6,0}{0,3} = 20\\ \text{km/h}.
Logo
\vec{v}_{\text{média}} = (10\\ \text{km/h})\,\hat{\imath} + (20\\ \text{km/h})\,\hat{\jmath}.é
Magnitude da velocidade média (verificação por componente ou usando deslocamento dividido por tempo):
|\vec{v}_{\text{média}}| = \sqrt{10^{2} + 20^{2}} = \sqrt{100 + 400} = \sqrt{500} = 10\sqrt{5}\\ \text{km/h}.é
Outra forma: |\vec{v}_{\text{média}}| = \dfrac{|\vec{\Delta r}|}{\Delta t} = \dfrac{3\sqrt{5}}{0,3} = 10\sqrt{5}\\ \text{km/h}.é
Valor numérico aproximado:
|\vec{v}_{\text{média}}| \approx 22{,}36\\ \text{km/h}.é
A direção da velocidade média é a mesma do deslocamento, ou seja \theta \approx 63{,}43^\circ a partir do leste em direção ao norte.

Passo 5

Resumo de interpretação e dicas rápidas para prova (não polui as contas, só ajuda):
  • Rapidez média (escala): usa o comprimento total do caminho dividido pelo tempo total. Aqui deu \,30\\ \text{km/h}.
  • Velocidade média (vetor): usa o deslocamento (vetor) dividido pelo tempo; componentes facilitam cálculo (aqui deu (10,20)\\ \text{km/h})).
  • Se for pedido apenas módulo da velocidade média, pode dividir o módulo do deslocamento pelo tempo.
  • Evite calculadora para esses números: some inteiros, use \sqrt{45}=3\sqrt{5} e simplifique divisões por 0,3 como multiplicar por 10/3.

Resposta

Distância total percorrida: 9,0\\ \text{km}. Rapidez média: 30\\ \text{km/h}.
Deslocamento: \vec{\Delta r} = (3,0\\ \text{km})\,\hat{\imath} + (6,0\\ \text{km})\,\hat{\jmath}; |\vec{\Delta r}| = 3\sqrt{5}\\ \text{km} \approx 6,708\\ \text{km}; direção \theta=\arctan(2)\approx 63{,}43^\circ (medido a partir do leste para o norte).
Velocidade média vetorial: \vec{v}_{\text{média}} = (10\\ \text{km/h})\,\hat{\imath} + (20\\ \text{km/h})\,\hat{\jmath}é; |\vec{v}_{\text{média}}| = 10\sqrt{5}\\ \text{km/h} \approx 22{,}36\\ \text{km/h}é.

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