(UECE 2025) Duas partículas, A e B, partem simultaneamente da origem de um sistema de coordenadas (X, Y), movendo-se em trajetórias retilíneas com velocidades de módulos iguais e constantes de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Suas trajetórias formam um ângulo de 60^{\circ} entre si, sendo o semieixo positivo X a bissetriz desse ângulo. A partícula A move-se no primeiro quadrante, enquanto a partícula B move-se no quarto quadrante.
Com base nessas informações, é correto afirmar que
a) a distância entre A e B após 1 segundo do início do movimento é de 20 metros.
b) a velocidade relativa de afastamento entre A e B varia linearmente com o tempo.
c) a velocidade relativa de afastamento entre A e B , ao longo do eixo Y, é de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
d) a velocidade relativa de afastamento entre A e B, ao longo do eixo X, é de 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede, sem resolver nada ainda.
  • Dados fornecidos:
    • As duas partículas partem da origem simultaneamente, no instante inicial t=0.
    • O módulo da velocidade de cada partícula é constante e igual a 10\\ \mathrm{m/s}.
    • As trajetórias são retilíneas e formam um ângulo de 60^\circ entre si.
    • O semieixo positivo X é a bissetriz do ângulo de 60^\circ. Logo, as direções das partículas fazem ÂNGULOS simétricos de +30^\circ e -30^\circ em relação ao eixo X.
    • A partícula A move-se no primeiro quadrante (ângulo +30^\circ) e a partícula B move-se no quarto quadrante (ângulo -30^\circ).
  • O enunciado pede que se determine quais das alternativas (a), (b), (c) e (d) são corretas:
    a) A distância entre A e B após 1 segundo é 20 metros.
    b) A velocidade relativa de afastamento entre A e B varia linearmente com o tempo.
    c) A velocidade relativa de afastamento entre A e B, ao longo do eixo Y, é de 10\\ \mathrm{m/s}.
    d) A velocidade relativa de afastamento entre A e B, ao longo do eixo X, é de 5\\ \mathrm{m/s}.

Passo 2

Primeiro, é útil escrever as componentes das velocidades das partículas. Regra usada (mini-aula): se um vetor velocidade tem módulo v e faz um ângulo \theta com o eixo X, então suas componentes são
v_x = v\cos\theta,\qquad v_y = v\sin\theta,
onde v_x é a componente no eixo X e v_y a componente no eixo Y. Aqui v=10\\ \mathrm{m/s}. Os ângulos são \theta_A=+30^\circ e \theta_B=-30^\circ. Valores trigonométricos úteis: \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}.
Agora calculemos as componentes:
  • Para A:
v_{A,x} = 10\cos 30^\circ = 10\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s}, \qquad v_{A,y} = 10\sin 30^\circ = 10\cdot\dfrac{1}{2}=5\\ \mathrm{m/s}.
  • Para B:
v_{B,x} = 10\cos(-30^\circ) = 10\cos 30^\circ=5\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s}, \qquad v_{B,y} = 10\sin(-30^\circ) = -10\sin 30^\circ = -5\\ \mathrm{m/s}.
Observação didática: as componentes x das duas partículas são iguais porque os vetores formam ângulos simétricos em relação ao eixo X; as componentes y têm o mesmo módulo e sinais opostos.

Passo 3

Calculamos as posições após t=1\\ \mathrm{s}. Como o movimento é retilíneo com velocidade constante, a posição é \vec r(t)=\vec v\,t. Assim, para t=1\\ \mathrm{s}:
\vec r_A(1) = (v_{A,x},\,v_{A,y})\cdot 1 = \bigl(5\sqrt{3},\;5\bigr)\\ \mathrm{m},
\vec r_B(1) = (v_{B,x},\,v_{B,y})\cdot 1 = \bigl(5\sqrt{3},\;-5\bigr)\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Agora a distância entre A e B em t=1\\ \mathrm{s}. A diferença de posição é
\vec r_A(1)-\vec r_B(1) = \bigl(5\sqrt{3}-5\sqrt{3},\;5-(-5)\bigr) = \bigl(0,\;10\bigr)\\ \mathrm{m}.
O módulo dessa diferença (a distância) é
\|\vec r_A(1)-\vec r_B(1)\| = \sqrt{0^2 + 10^2} = 10\\ \mathrm{m}.
Conclusão imediata: a alternativa (a) que afirma 20\\ \mathrm{m} está incorreta.

Passo 5

Calculamos a velocidade relativa. Definição e mini-aula: a velocidade relativa de A em relação a B é \vec v_{rel}=\vec v_A-\vec v_B. Isso representa a velocidade com que o vetor posição de A visto de B muda no tempo.
Substituindo as componentes:
\vec v_{rel} = \bigl(v_{A,x}-v_{B,x},\;v_{A,y}-v_{B,y}\bigr) = \bigl(5\sqrt{3}-5\sqrt{3},\;5-(-5)\bigr) = \bigl(0,\;10\bigr)\\ \mathrm{m/s}.
Observações:
  • A componente dorelativo ao longo do eixo Y é \;10\\ \mathrm{m/s}.
  • A componente ao longo do eixo X é \;0\\ \mathrm{m/s}.
  • Como \vec v_A e \vec v_B são constantes no tempo, \vec v_{rel} é constante no tempo. Isso significa que a velocidade relativa NÃO varia com t; logo a afirmação (b) de que varia linearmente com o tempo é falsa (variação linear com o tempo implicaria que \vec v_{rel} dependesse de t, por exemplo fosse proporcional a t).

Passo 6

Analisando cada alternativa com base nos cálculos:
  • (a) Falso: distância em t=1\\ \mathrm{s} é 10\\ \mathrm{m}, não 20\\ \mathrm{m}.
  • (b) Falso: a velocidade relativa \vec v_{rel}=(0,10)\\ \mathrm{m/s} é constante; não varia linearmente com o tempo.
  • (c) Verdadeiro: a componente da velocidade relativa ao longo de Y é 10\\ \mathrm{m/s}.
  • (d) Falso: a componente da velocidade relativa ao longo de X é 0\\ \mathrm{m/s}, não 5\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

c)

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