(5%) Questão 11. Mostre que a sequência
definida por
é crescente pondo
na desigualdade de Bernoulli.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
para
e pede para mostrar que ela é crescente, isto é, mostrar que, para todo
,
Informações relevantes: a sequência está definida por potências com base
e expoente
. O enunciado sugere usar a desigualdade de Bernoulli com
(vamos ver exactamente onde isso entra).
Passo 2
Apresentar a desigualdade de Bernoulli que vamos usar e verificar que se pode aplicar. A forma que usamos é a seguinte: para todo inteiro
e todo
vale
Aqui
é o expoente inteiro e
é a variação (pode ser negativa, desde que
). No nosso caso, mais adiante vamos aplicar essa desigualdade com
e com
que satisfaz
(de facto
). Assim, pela desigualdade de Bernoulli com
e esse
obtemos
Passo 3
Fazer uma identidade algébrica que relaciona
com
. Começamos calculando a razão
Agora note que
Portanto concluímos a identidade útil
Passo 4
Elevar essa identidade à potência
. Pelas propriedades de potências,
Passo 5
Dividir ambos os lados por
para relacionar
e
. Lembrando que
, obtemos
Para provar que
é suficiente mostrar que o quociente acima é
, ou seja
Passo 6
Aplicar o resultado da Bernoulli obtido no Passo 2. Lá mostramos que
Isto é exactamente a desigualdade necessária para garantir que
. Portanto
para todo
. Assim a sequência
é crescente.
Resposta
A sequência
é crescente, isto é,
para todo
.