(5%) Questão 11. Mostre que a sequência \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} definida por
x_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}
é crescente pondo x=-1 / n^{2} na desigualdade de Bernoulli.

Passo 1

O enunciado dá a sequência x_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n} para n\in\mathbb{N} e pede para mostrar que ela é crescente, isto é, mostrar que, para todo n\in\mathbb{N},
x_{n+1}\ge x_n.
Informações relevantes: a sequência está definida por potências com base 1+\dfrac{1}{n}>0 e expoente n. O enunciado sugere usar a desigualdade de Bernoulli com x=-\dfrac{1}{n^{2}} (vamos ver exactamente onde isso entra).

Passo 2

Apresentar a desigualdade de Bernoulli que vamos usar e verificar que se pode aplicar. A forma que usamos é a seguinte: para todo inteiro m\ge 1 e todo x\ge -1 vale
(1+x)^m \ge 1+ m x.
Aqui m é o expoente inteiro e x é a variação (pode ser negativa, desde que x\ge-1). No nosso caso, mais adiante vamos aplicar essa desigualdade com m=n+1 e com
x=-\dfrac{1}{(n+1)^2},
que satisfaz x\ge -1 (de facto x> -1). Assim, pela desigualdade de Bernoulli com m=n+1 e esse x obtemos
\left(1-\dfrac{1}{(n+1)^2}\right)^{\,n+1}\ge 1-(n+1)\cdot\dfrac{1}{(n+1)^2}=1-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n}{n+1}.

Passo 3

Fazer uma identidade algébrica que relaciona 1+\dfrac{1}{n+1} com 1+\dfrac{1}{n}. Começamos calculando a razão
\frac{1+\dfrac{1}{n+1}}{1+\dfrac{1}{n}} =\frac{\dfrac{n+2}{n+1}}{\dfrac{n+1}{n}} =\frac{n+2}{n+1}\cdot\frac{n}{n+1} =\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}.
Agora note que
1-\dfrac{1}{(n+1)^2}=\frac{(n+1)^2-1}{(n+1)^2}=\frac{n^2+2n}{(n+1)^2}=\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}.
Portanto concluímos a identidade útil
1+\dfrac{1}{n+1}=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{1}{(n+1)^2}\right).

Passo 4

Elevar essa identidade à potência n+1. Pelas propriedades de potências,
\left(1+\dfrac{1}{n+1}\right)^{n+1} =\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+1}\left(1-\dfrac{1}{(n+1)^2}\right)^{\,n+1}.

Passo 5

Dividir ambos os lados por \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n} para relacionar x_{n+1} e x_n. Lembrando que x_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}, obtemos
\frac{x_{n+1}}{x_n} =\frac{\left(1+\dfrac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}} =\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{1}{(n+1)^2}\right)^{\,n+1}.
Para provar que x_{n+1}\ge x_n é suficiente mostrar que o quociente acima é \ge 1, ou seja
\left(1-\dfrac{1}{(n+1)^2}\right)^{\,n+1}\ge \frac{1}{1+\dfrac{1}{n}}=\frac{n}{n+1}.

Passo 6

Aplicar o resultado da Bernoulli obtido no Passo 2. Lá mostramos que
\left(1-\dfrac{1}{(n+1)^2}\right)^{\,n+1}\ge \dfrac{n}{n+1}.
Isto é exactamente a desigualdade necessária para garantir que \dfrac{x_{n+1}}{x_n}\ge 1. Portanto
\frac{x_{n+1}}{x_n}\ge 1\quad\Longrightarrow\quad x_{n+1}\ge x_n
para todo n\in\mathbb{N}. Assim a sequência \left(x_n\right)_{n\in\mathbb{N}} é crescente.

Resposta

A sequência \displaystyle x_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} é crescente, isto é, x_{n+1}\ge x_n para todo n\in\mathbb{N}.

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