Questão 11 - Mostre que (\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{u}=0 para quaisquer vetores \vec{u}, \vec{v} \in \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o produto escalar entre \vec{u}\times\vec{v} e \vec{u} é zero para quaisquer vetores em \mathbb{R}^3. Vamos usar a definição em componentes do produto vetorial e do produto escalar para ver que todos os termos se cancelam.

Passo 2

Sejam \vec{u}=(u_{1},u_{2},u_{3}) e \vec{v}=(v_{1},v_{2},v_{3}).
Por definição do produto vetorial,
\vec{u}\times\vec{v} = \bigl(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2},\; u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3},\; u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}\bigr).

Passo 3

O produto escalar de \vec{u}\times\vec{v} com \vec{u} é
(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{u} = u_{1}(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2}) +u_{2}(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}) +u_{3}(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}).

Passo 4

Vamos expandir cada termo:
u_{1}u_{2}v_{3} - u_{1}u_{3}v_{2} +u_{2}u_{3}v_{1} - u_{2}u_{1}v_{3} +u_{3}u_{1}v_{2} - u_{3}u_{2}v_{1}.
Note que u_{1}u_{2}v_{3} cancela com -u_{2}u_{1}v_{3}, u_{2}u_{3}v_{1} cancela com -u_{3}u_{2}v_{1}
e -u_{1}u_{3}v_{2} cancela com u_{3}u_{1}v_{2}.

Passo 5

Como todos os termos aparecem em pares de sinais opostos, o somatório é zero. Portanto,
(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{u}=0.

Resposta

0

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