Questão 13 - Encontre todos os vetores \vec{v} tais que (1,2,1) \times \vec{v}=(3,1,5).

Passo 1

O enunciado pede todos os vetores \vec v tais que
(1,2,1)\times \vec v = (3,1,5).
O conteúdo é produto vetorial e suas propriedades de ortogonalidade.

Passo 2

Uma propriedade fundamental do produto vetorial diz que \vec a \times \vec v é ortogonal a \vec a. Logo vale
\vec a\cdot(\vec a\times \vec v)=0.
Para \vec a=(1,2,1) e \vec a\times \vec v=(3,1,5), devemos ter
(1,2,1)\cdot(3,1,5)=0.

Passo 3

Calculemos o produto escalar:
1\cdot3 + 2\cdot1 + 1\cdot5 = 3 + 2 + 5 = 10 \neq 0.
Como dá 10, não zero, isso contradiz a ortogonalidade exigida.

Resposta

Não existe vetor \vec v que satisfaça (1,2,1)\times \vec v=(3,1,5); o conjunto solução é o vazio.

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