Questão 1 (11 pontos) Considere a equação
y^{\prime \prime}-y=-2 e^{x}
(a) Encontre a solução geral de (1).
(b) Encontre a solução de (1) que satisfaz y(0)=1 e y^{\prime}(0)=-1.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y''-y=-2e^{x}
e pede duas coisas:
  • (a) encontrar a solução geral da equação (isto é, todas as soluções);
  • (b) encontrar a solução específica que satisfaz as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=-1.
Informações explícitas fornecidas:
  • A equação é linear de segunda ordem, com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (lado direito) é -2e^{x}.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (isto nos dá as “peças” da solução geral). A equação homogênea é
y''-y=0.
Para resolvê-la usamos a ansatz clássica y=e^{rx}. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica para r:
r^{2}-1=0.
Resolvendo:
r^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad r=\pm 1.
Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é uma combinação linear das exponenciais correspondentes:
y_{h}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
Explicação didática rápida: para equações lineares com coeficientes constantes, as soluções da homogênea vêm de e^{rx} com r solução do polinômio característico; cada raiz simples gera um termo e^{rx}.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_{p}(x) da equação completa
y''-y=-2e^{x}.
Método escolhido: coeficientes indeterminados (porque o lado direito é uma função simples, aqui exponencial). Repare que e^{x} aparece entre as soluções da homogênea (pois r=1 é raiz do característico). Quando o termo de forçamento e^{\alpha x} coincide com uma solução da homogênea, devemos multiplicar o palpite usual por um fator x^{m}, onde m é a multiplicidade da raiz \alpha na equação característica. Aqui \alpha=1 tem multiplicidade 1, então multiplicamos por x.
Logo fazemos o palpite (ansatz)
y_{p}(x)=A x e^{x},
onde A é constante a determinar.
Explicação didática: se e^{x} não fosse solução homogênea, tentaríamos A e^{x}. Mas como e^{x} já é solução homogênea, a forma correta é x vezes essa função.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_{p} (vou mostrar passo a passo):
y_{p}(x)=A x e^{x}.
Derivando uma vez (produto x\cdot e^{x}):
y_{p}'(x)=A\big(1\cdot e^{x}+x\cdot e^{x}\big)=A e^{x}(x+1).
Derivando novamente:
y_{p}''(x)=A\big(e^{x}(x+1)+e^{x}\big)=A e^{x}(x+2).
Agora substituímos em \,y''-y\,:
y_{p}''-y_{p}=A e^{x}(x+2)-A x e^{x}=A e^{x}\big((x+2)-x\big)=2A e^{x}.
Queremos que isso seja igual a -2e^{x}. Portanto
2A e^{x}=-2e^{x}\quad\Rightarrow\quad 2A=-2\quad\Rightarrow\quad A=-1.

Passo 5

Com A=-1 obtemos a solução particular
y_{p}(x)=-x e^{x}.
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}-x e^{x}.

Passo 6

Agora aplicamos as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.
Primeiro y(0)=1. Avaliando y em x=0:
y(0)=C_{1}e^{0}+C_{2}e^{0}-0\cdot e^{0}=C_{1}+C_{2}=1.
Portanto
C_{1}+C_{2}=1. \tag{1}
Agora calculamos y'(x) para usar y'(0)=-1. Derivando a solução geral (mostrando cada contribuição):
  • Derivada de C_{1}e^{x} é C_{1}e^{x}.
  • Derivada de C_{2}e^{-x} é -C_{2}e^{-x}.
  • Derivada de -x e^{x} já calculada anteriormente é -e^{x}(x+1) (pois d(xe^{x})/dx=e^{x}(x+1), com o sinal menos dá -e^{x}(x+1)).
Somando:
y'(x)=C_{1}e^{x}-C_{2}e^{-x}-e^{x}(x+1).
Avaliando em x=0:
y'(0)=C_{1}-C_{2}-1.
A condição é y'(0)=-1, então
C_{1}-C_{2}-1=-1 \quad\Rightarrow\quad C_{1}-C_{2}=0. \tag{2}

Passo 7

Resolvemos o sistema linear formado por (1) e (2):
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=1,\\[4pt] C_{1}-C_{2}=0. \end{cases}
Somando as duas equações dá 2C_{1}=1\Rightarrow C_{1}=\dfrac{1}{2}. Daí C_{2}=C_{1}=\dfrac{1}{2}.
Logo a solução que satisfaz as condições iniciais é
y(x)=\frac{1}{2}e^{x}+\frac{1}{2}e^{-x}-x e^{x}.
Observação: pode-se escrever \dfrac{1}{2}e^{x}+\dfrac{1}{2}e^{-x}=\operatorname{cosh} x, então também
y(x)=\operatorname{cosh} x - x e^{x}.]

Resposta

(a) y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}-x e^{x}.
(b) y(x)=\dfrac{1}{2}e^{x}+\dfrac{1}{2}e^{-x}-x e^{x}=\operatorname{cosh} x - x e^{x}.

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