(a) Encontre a solução geral de (1).
(b) Encontre a solução de (1) que satisfaz y(0)=1 e y^{\prime}(0)=-1.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
y''-y=-2e^{x}
e pede duas coisas:
(a) encontrar a solução geral da equação (isto é, todas as soluções);
(b) encontrar a solução específica que satisfaz as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=-1.
Informações explícitas fornecidas:
A equação é linear de segunda ordem, com coeficientes constantes.
O termo não-homogêneo (lado direito) é -2e^{x}.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (isto nos dá as “peças” da solução geral). A equação homogênea é
y''-y=0.
Para resolvê-la usamos a ansatz clássica y=e^{rx}. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica para r:
r^{2}-1=0.
Resolvendo:
r^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad r=\pm 1.
Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é uma combinação linear das exponenciais correspondentes:
y_{h}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
Explicação didática rápida: para equações lineares com coeficientes constantes, as soluções da homogênea vêm de e^{rx} com r solução do polinômio característico; cada raiz simples gera um termo e^{rx}.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular y_{p}(x) da equação completa
y''-y=-2e^{x}.
Método escolhido: coeficientes indeterminados (porque o lado direito é uma função simples, aqui exponencial). Repare que e^{x} aparece entre as soluções da homogênea (pois r=1 é raiz do característico). Quando o termo de forçamento e^{\alpha x} coincide com uma solução da homogênea, devemos multiplicar o palpite usual por um fator x^{m}, onde m é a multiplicidade da raiz \alpha na equação característica. Aqui \alpha=1 tem multiplicidade 1, então multiplicamos por x.
Logo fazemos o palpite (ansatz)
y_{p}(x)=A x e^{x},
onde A é constante a determinar.
Explicação didática: se e^{x} não fosse solução homogênea, tentaríamos A e^{x}. Mas como e^{x} já é solução homogênea, a forma correta é x vezes essa função.
Passo 4
Calculamos as derivadas de y_{p} (vou mostrar passo a passo):