Determine os coeficientes da série de Fourier dos seguintes sinais periódicos:
x(t)=\mathrm{B} \cos \left(2 \pi 2 f_{o} t+\varphi\right);

Passo 1

O enunciado dá o sinal periódico
x(t)=\mathrm{B}\cos\!\bigl(2\pi\cdot 2 f_{o} t+\varphi\bigr)
e pede: determinar os coeficientes da série de Fourier desse sinal. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A amplitude é \mathrm{B}.
  • A fase é \varphi.
  • A frequência do cosseno é 2f_{o}.
  • A frequência fundamental presumida do desenvolvimento em série de Fourier é f_{o} (logo o período fundamental é T_{0}=\dfrac{1}{f_{o}} e a pulsação fundamental é \omega_{0}=2\pi f_{o}).
    As perguntas implícitas são: encontrar os coeficientes complexos c_{k} da série exponencial e, se desejado, os coeficientes trigonométricos a_{k},b_{k} (ou a_{0}).

Passo 2

Vou definir a série de Fourier complexa e a fórmula dos coeficientes (essa é a ferramenta que usaremos).
A representação complexa de Fourier para um sinal de período T_{0} é
x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_{k}\,e^{j k \omega_{0} t},
onde \omega_{0}=2\pi f_{o} e os coeficientes c_{k} são dados por
c_{k}=\frac{1}{T_{0}}\int_{T_{0}} x(t)\,e^{-j k \omega_{0} t}\,dt.
Intuição curta sobre por que isso funciona: as funções e^{j k \omega_{0} t} são ortogonais no intervalo de um período, então a integral acima “proje­ta” x(t) na base exponencial e isola o coeficiente c_{k}.

Passo 3

Escrevo o cosseno em termos de exponenciais (fórmula de Euler), porque isso facilita o uso da expressão para c_{k}:
\cos\!\bigl(2\pi\cdot 2 f_{o} t+\varphi\bigr) =\frac{1}{2}\,e^{j(2\omega_{0} t+\varphi)}+\frac{1}{2}\,e^{-j(2\omega_{0} t+\varphi)},
onde usei \omega_{0}=2\pi f_{o} e observe que 2\pi\cdot 2 f_{o} t=2\omega_{0} t.
Portanto
x(t)=\mathrm{B}\,\frac{1}{2}\,e^{j\varphi}\,e^{j2\omega_{0} t} +\mathrm{B}\,\frac{1}{2}\,e^{-j\varphi}\,e^{-j2\omega_{0} t}.

Passo 4

Substituo essa expressão na integral para c_{k}. Como x(t) é soma de duas exponenciais, a integral se separa em duas:
c_{k}=\frac{1}{T_{0}}\int_{T_{0}}\left(\frac{\mathrm{B}}{2}e^{j\varphi}e^{j2\omega_{0} t} +\frac{\mathrm{B}}{2}e^{-j\varphi}e^{-j2\omega_{0} t}\right)e^{-j k \omega_{0} t}\,dt.
Agrupando expoentes:
c_{k}=\frac{\mathrm{B}}{2T_{0}}e^{j\varphi}\int_{T_{0}} e^{j(2-k)\omega_{0} t}\,dt +\frac{\mathrm{B}}{2T_{0}}e^{-j\varphi}\int_{T_{0}} e^{-j(2+k)\omega_{0} t}\,dt.

Passo 5

Avalio as integrais. Para inteiro m\neq 0 vale
\int_{T_{0}} e^{j m \omega_{0} t}\,dt=0,
porque integra-se uma exponencial complexa de período inteiro várias vezes no intervalo de um período (é a ortogonalidade). Para m=0 a integral vale T_{0}.
Aplicando isso às nossas integrais:
  • Na primeira integral o expoente é m=2-k. A integral só é não-nula se 2-k=0, ou seja quando k=2. Nesse caso a integral vale T_{0}.
  • Na segunda integral o expoente é m=-(2+k). A integral só é não-nula se -(2+k)=0, ou seja quando k=-2. Nesse caso a integral vale T_{0}.
    Assim obtemos resultados simples.

Passo 6

Usando o resultado do passo anterior:
  • Para k=2:
c_{2}=\frac{\mathrm{B}}{2T_{0}}e^{j\varphi}\cdot T_{0}=\frac{\mathrm{B}}{2}e^{j\varphi}.
  • Para k=-2:
c_{-2}=\frac{\mathrm{B}}{2T_{0}}e^{-j\varphi}\cdot T_{0}=\frac{\mathrm{B}}{2}e^{-j\varphi}.
  • Para todo k diferente de 2 e -2, ambas integrais são zero e portanto
c_{k}=0\quad\text{para }k\neq \pm 2.

Passo 7

Interpretação e forma trigonométrica (útil para provas): sabendo c_{k} podemos obter os coeficientes trigonométricos a_{k},b_{k} da forma
x(t)=a_{0}+\sum_{k=1}^{\infty}\bigl(a_{k}\cos(k\omega_{0} t)+b_{k}\sin(k\omega_{0} t)\bigr).
As relações entre c_{k} e a_{k},b_{k} são, para k>0,
a_{k}=2\Re(c_{k}),\qquad b_{k}=-2\Im(c_{k}),
e a_{0}=c_{0}. Como c_{0}=0 aqui, obtemos a_{0}=0. Para o caso presente apenas k=2 contribui:
c_{2}=\frac{\mathrm{B}}{2}e^{j\varphi}\quad\Rightarrow\quad \Re(c_{2})=\frac{\mathrm{B}}{2}\cos\varphi,\quad \Im(c_{2})=\frac{\mathrm{B}}{2}\sin\varphi.
Logo
a_{2}=2\cdot\frac{\mathrm{B}}{2}\cos\varphi=\mathrm{B}\cos\varphi, \qquad b_{2}=-2\cdot\frac{\mathrm{B}}{2}\sin\varphi=-\mathrm{B}\sin\varphi,
e todos os outros a_{k},b_{k} são zero para k\neq 2.

Passo 8

Resumo prático (o que vale memorizar para a prova):
  • Um cosseno isolado em k-ésimo harmônico gera apenas dois coeficientes complexos não nulos: c_{k} e c_{-k}.
  • A magnitude de c_{\pm 2} é \dfrac{\mathrm{B}}{2} e suas fases são \pm\varphi.
  • Não há componente DC ( a_{0}=0).

Resposta

c_{k}=\dfrac{\mathrm{B}}{2}e^{j\varphi} para k=2
c_{k}=\dfrac{\mathrm{B}}{2}e^{-j\varphi} para k=-2
c_{k}=0 para k\neq \pm 2
a_{0}=0
a_{2}=\mathrm{B}\cos\varphi, \;b_{2}=-\mathrm{B}\sin\varphi
a_{k}=0,\;b_{k}=0 para k\neq 2

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