Determine os coeficientes da série de Fourier dos seguintes sinais periódicos:
;
Passo 1
O enunciado dá o sinal periódico
e pede: determinar os coeficientes da série de Fourier desse sinal. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A amplitude é
. - A fase é
. - A frequência do cosseno é
. - A frequência fundamental presumida do desenvolvimento em série de Fourier é
(logo o período fundamental é e a pulsação fundamental é ).
As perguntas implícitas são: encontrar os coeficientes complexosda série exponencial e, se desejado, os coeficientes trigonométricos (ou ).
Passo 2
Vou definir a série de Fourier complexa e a fórmula dos coeficientes (essa é a ferramenta que usaremos).
A representação complexa de Fourier para um sinal de período é
A representação complexa de Fourier para um sinal de período
onde
e os coeficientes
são dados por
Intuição curta sobre por que isso funciona: as funções
são ortogonais no intervalo de um período, então a integral acima “projeta”
na base exponencial e isola o coeficiente
.
Passo 3
Escrevo o cosseno em termos de exponenciais (fórmula de Euler), porque isso facilita o uso da expressão para
:
onde usei
e observe que
.
Portanto
Portanto
Passo 4
Substituo essa expressão na integral para
. Como
é soma de duas exponenciais, a integral se separa em duas:
Agrupando expoentes:
Passo 5
Avalio as integrais. Para inteiro
vale
porque integra-se uma exponencial complexa de período inteiro várias vezes no intervalo de um período (é a ortogonalidade). Para
a integral vale
.
Aplicando isso às nossas integrais:
Aplicando isso às nossas integrais:
- Na primeira integral o expoente é
. A integral só é não-nula se , ou seja quando . Nesse caso a integral vale . - Na segunda integral o expoente é
. A integral só é não-nula se , ou seja quando . Nesse caso a integral vale .
Assim obtemos resultados simples.
Passo 6
Usando o resultado do passo anterior:
- Para
:
- Para
:
- Para todo
diferente de e , ambas integrais são zero e portanto
Passo 7
Interpretação e forma trigonométrica (útil para provas): sabendo
podemos obter os coeficientes trigonométricos
da forma
As relações entre
e
são, para
,
e
. Como
aqui, obtemos
. Para o caso presente apenas
contribui:
Logo
e todos os outros
são zero para
.
Passo 8
Resumo prático (o que vale memorizar para a prova):
- Um cosseno isolado em
-ésimo harmônico gera apenas dois coeficientes complexos não nulos: e . - A magnitude de
é e suas fases são . - Não há componente DC (
).