Determine os coeficientes da série de Fourier dos seguintes sinais periódicos:
.
Passo 1
O enunciado dá o sinal periódico
e pede: “determine os coeficientes da série de Fourier”. Dados e incógnitas que aparecerão na resolução:
- Parâmetros conhecidos:
(constante DC), (amplitude da senoide), (fase) e (frequência fundamental). - Vou usar como referência a frequência angular fundamental
e o período . - O que precisa ser entregue: os coeficientes da série de Fourier. Posso apresentar tanto os coeficientes complexos
(série exponencial) quanto os coeficientes reais (série em cosseno e seno). Não há outras incógnitas no enunciado.
Passo 2
Definição e estratégia prática (sem integrar desnecessariamente).
- Série exponencial complexa: qualquer sinal periódico de período
pode ser escrito como
onde os coeficientes são
- Observação útil: aqui a função é simplesmente a soma de uma constante (
) e uma senoide com harmônico (pois a senoide tem frequência ). Em vez de calcular integrais gerais, é muito mais rápido decompor a senoide em exponenciais complexas e identificar os termos que aparecem.
Vou usar a identidade de Euler para a senoide:
Note que
. Então
Passo 3
Identificação direta dos coeficientes complexos
.
- A constante
corresponde ao termo na série exponencial. Logo
- A decomposição da senoide mostra que ela produz apenas termos em
e . Multiplicando por e pela constante , os coeficientes associados são:
- Para todo
diferente de não há contribuição, portanto
- Observação sobre simetria (checagem rápida): para sinal real deve valer
. Verificando, de fato .
Se quiser escrever
com
no numerador (às vezes mais legível):
portanto também é válido escrever
Passo 4
Coeficientes na forma trigonométrica (opcional, mas muitas provas pedem
).
- Vou usar a convenção
onde
é a componente DC (outras convenções usam
; aqui estou tomando
já como o valor DC para ficar direto).
- Expanda a senoide usando a identidade de diferença de ângulos:
Multiplicando por
,
- Comparando com a forma da série trigonométrica obtemos:
e para todo
Passo 5
Resumo prático e dica para a prova (curto e animador)
- Regra rápida: constante → termo
; senoide em → contribui só nos harmônicos . Use decomposição exponencial ou identidade de ângulo para achar as fases e sinais. - Se a prova pedir só os coeficientes complexos entregue
e os acima; se pedir forma trigonométrica entregue . Fácil de decorar e rápido de aplicar — respira fundo, você consegue!