Determine os coeficientes da série de Fourier dos seguintes sinais periódicos:
x(t)=\mathrm{A}+\mathrm{B} \operatorname{sen}\left(2 \pi 5 f_{o} t-\theta\right).

Passo 1

O enunciado dá o sinal periódico
x(t)=\mathrm{A}+\mathrm{B}\,\sin\!\bigl(2\pi 5 f_{o} t-\theta\bigr)
e pede: “determine os coeficientes da série de Fourier”. Dados e incógnitas que aparecerão na resolução:
  • Parâmetros conhecidos: \mathrm{A} (constante DC), \mathrm{B} (amplitude da senoide), \theta (fase) e f_{o} (frequência fundamental).
  • Vou usar como referência a frequência angular fundamental \omega_{0}=2\pi f_{o} e o período T=1/f_{o}.
  • O que precisa ser entregue: os coeficientes da série de Fourier. Posso apresentar tanto os coeficientes complexos C_k (série exponencial) quanto os coeficientes reais a_0,a_n,b_n (série em cosseno e seno). Não há outras incógnitas no enunciado.

Passo 2

Definição e estratégia prática (sem integrar desnecessariamente).
  • Série exponencial complexa: qualquer sinal periódico de período T pode ser escrito como
x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} C_k\,e^{j k \omega_0 t},
onde os coeficientes são
C_k=\frac{1}{T}\int_{T} x(t)\,e^{-j k \omega_0 t}\,dt.
  • Observação útil: aqui a função é simplesmente a soma de uma constante ( \mathrm{A}) e uma senoide com harmônico 5 (pois a senoide tem frequência 5f_0). Em vez de calcular integrais gerais, é muito mais rápido decompor a senoide em exponenciais complexas e identificar os termos que aparecem.
Vou usar a identidade de Euler para a senoide:
\sin\!\bigl(2\pi 5 f_{o} t-\theta\bigr) =\frac{1}{2j}\Bigl(e^{j(2\pi 5 f_{o} t-\theta)}-e^{-j(2\pi 5 f_{o} t-\theta)}\Bigr).
Note que 2\pi 5 f_{o} t = 5\omega_0 t. Então
\sin\!\bigl(5\omega_0 t-\theta\bigr) =\frac{1}{2j}\Bigl(e^{-j\theta}e^{j5\omega_0 t}-e^{j\theta}e^{-j5\omega_0 t}\Bigr).

Passo 3

Identificação direta dos coeficientes complexos C_k.
  • A constante \mathrm{A} corresponde ao termo k=0 na série exponencial. Logo
C_0=\mathrm{A}.
  • A decomposição da senoide mostra que ela produz apenas termos em e^{j5\omega_0 t} e e^{-j5\omega_0 t}. Multiplicando por \mathrm{B} e pela constante 1/(2j), os coeficientes associados são:
C_{5}=\frac{\mathrm{B}}{2j}\,e^{-j\theta}, \qquad C_{-5}=-\frac{\mathrm{B}}{2j}\,e^{j\theta}.
  • Para todo k diferente de 0,\pm 5 não há contribuição, portanto
C_k=0\quad\text{para }k\neq 0,\pm 5.
  • Observação sobre simetria (checagem rápida): para sinal real deve valer C_{-k}=C_k^*. Verificando, de fato C_{-5}=\bigl(C_{5}\bigr)^*.
Se quiser escrever C_{\pm5} com j no numerador (às vezes mais legível):
\frac{1}{2j}=-\frac{j}{2},
portanto também é válido escrever
C_{5}=-\frac{j\mathrm{B}}{2}\,e^{-j\theta}, \qquad C_{-5}=+\frac{j\mathrm{B}}{2}\,e^{j\theta}.

Passo 4

Coeficientes na forma trigonométrica (opcional, mas muitas provas pedem a_n,b_n).
  • Vou usar a convenção
x(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[a_n\cos(n\omega_0 t)+b_n\sin(n\omega_0 t)\bigr],
onde a_0 é a componente DC (outras convenções usam a_0/2; aqui estou tomando a_0 já como o valor DC para ficar direto).
  • Expanda a senoide usando a identidade de diferença de ângulos:
\sin(5\omega_0 t-\theta)=\sin(5\omega_0 t)\cos\theta-\cos(5\omega_0 t)\sin\theta.
Multiplicando por \mathrm{B},
\mathrm{B}\sin(5\omega_0 t-\theta)=\bigl(\mathrm{B}\cos\theta\bigr)\sin(5\omega_0 t)+\bigl(-\mathrm{B}\sin\theta\bigr)\cos(5\omega_0 t).
  • Comparando com a forma da série trigonométrica obtemos:
a_0=\mathrm{A}, \qquad a_5=-\mathrm{B}\sin\theta, \qquad b_5=\mathrm{B}\cos\theta,
e para todo n\neq 5
a_n=0,\qquad b_n=0.

Passo 5

Resumo prático e dica para a prova (curto e animador)
  • Regra rápida: constante → termo k=0; senoide em m f_0 → contribui só nos harmônicos k=\pm m. Use decomposição exponencial ou identidade de ângulo para achar as fases e sinais.
  • Se a prova pedir só os coeficientes complexos entregue C_0 e os C_{\pm5} acima; se pedir forma trigonométrica entregue a_0,a_5,b_5. Fácil de decorar e rápido de aplicar — respira fundo, você consegue!

Resposta

C_0=\mathrm{A}
C_k=0\quad\text{para }k\neq 0,\pm 5
C_{5}=\dfrac{\mathrm{B}}{2j}\,e^{-j\theta}
C_{-5}=-\dfrac{\mathrm{B}}{2j}\,e^{j\theta}
a_0=\mathrm{A}
a_5=-\mathrm{B}\sin\theta,\quad b_5=\mathrm{B}\cos\theta
a_n=0,\;b_n=0\quad\text{para }n\neq 5

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