Questão 11. Uma reta r passa pelo ponto A=(1,5,6) e tem a direção do vetor \vec{v}=(2,0,0).
(a) Encontre a equação vetorial da reta r.
(b) Encontre as equações paramétricas da reta r.
(c) Encontre as equações simétricas da reta r, caso exista.
(d) Encontre as equações reduzidas da reta r, caso exista.

Passo 1

O enunciado dá uma reta r\subset\mathbb{R}^3 que passa pelo ponto A=(1,5,6) e tem vetor diretor \vec v=(2,0,0). O conteúdo aqui é representação de retas em espaço: forma vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida.

Passo 2

A equação vetorial de uma reta que passa por A e tem direção \vec v é
\mathbf r(t)=\overrightarrow{OA} + t\,\vec v,
onde O é a origem e t\in\mathbb{R}. Substituindo A=(1,5,6) e \vec v=(2,0,0),
\mathbf r(t) = (1,5,6) + t\,(2,0,0).

Passo 3

Para obter as equações paramétricas, basta separar as componentes de \mathbf r(t). Temos
x = 1 + 2t,\quad y = 5 + 0\cdot t = 5,\quad z = 6 + 0\cdot t = 6.

Passo 4

A forma simétrica exige dividir cada diferença (\text{coordenada}-\text{ponto inicial}) pelo respectivo componente do vetor diretor, isto é,
\frac{x-1}{2}=\frac{y-5}{0}=\frac{z-6}{0}.
Como aparecem divisões por zero em \frac{y-5}{0} e \frac{z-6}{0}, não existe forma simétrica canônica para esta reta.

Passo 5

A forma reduzida (ou forma cartesiana) de uma reta em \mathbb{R}^3 pode ser dada como interseção de dois planos, cada um obtido impondo a componente constante quando o vetor diretor tem aquela coordenada nula. Aqui \vec v tem componente zero em y e em z, portanto
y = 5, \qquad z = 6.
Estas duas equações são a forma reduzida da reta: o ponto livre varia só em x.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf r(t) = (1,5,6) + t\,(2,0,0).
(b) \displaystyle x = 1 + 2t,\quad y = 5,\quad z = 6.
(c) Não existe forma simétrica canônica, pois há divisões por zero.
(d) Forma reduzida:
y = 5, \quad z = 6.

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